Gaussův integrál

Graf funkce $e^{-x^{2}}$ a plochy mezi funkcí a osou $x$; tato plocha se rovná $\scriptstyle {\sqrt {\pi }}$

Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál, je integrál Gaussovy funkce $e^{-x^{2}}$ přes celou reálnou osu:

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$.

Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet

Integrál Gaussovy funkce označíme $Y$:

$Y=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {d} x$.

Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme $y$:

$Y^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {d} x\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-y^{2}}\mathrm {d} y$.

Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí:

$Y^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {e} ^{-y^{2}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-(x^{2}+y^{2})}\mathrm {d} x\mathrm {d} y$.

Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi $(x,y)$. Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic $(\varphi ,r)$, do kterých funkci přepíšeme:

$Y^{2}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }r\mathrm {e} ^{-r^{2}}\mathrm {d} r\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \int _{0}^{\infty }r\mathrm {e} ^{-r^{2}}\mathrm {d} r$.

Tento integrál už lze jednoduše vyřešit substitucí $u=r^{2}$ a jeho hodnota je $\pi$. Odmocněním rovnice dostaneme výsledek:

$Y={\sqrt {\pi }}$.

Literatura

• Josef Kvasnica: Matematický aparát fyziky, Academia, Praha 1997, ISBN 80-200-0603-6

Související články

• Normální rozdělení
• Seznam integrálů exponenciálních funkcí
• Chybová funkce

Portály: Matematika