Gaussův integrál

Graf ƒ(x) = e^−x2 a plochy mezi funkcí a osou x; tato plocha se rovná $\scriptstyle {\sqrt {\pi }}$

Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál, je integrál Gaussovy funkce e^−x2 přes celou reálnou osu, tedy

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet

Integrál Gaussovy funkce

$Y=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {d} x$

upravíme záměnnou proměnné a vynásobením, takže dostaneme

$Y^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-(x^{2}+y^{2})}\mathrm {d} x\mathrm {d} y.$

Po přechodu k polárním souřadnicím lze předchozí vztah zapsat jako

$Y^{2}=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\infty }\rho \mathrm {e} ^{-\rho ^{2}}\mathrm {d} \rho =\pi$

Odtud dostaneme

$Y={\sqrt {\pi }}$

Odkazy

Externí odkazy

• Kvasnica J.: Matematický aparát fyzika

Portály: Matematika