Galoisova grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Galoisova grupa je pojem z algebry. Je to grupa definována pro těleso a jeho konečné rozšíření. Studium rozšíření těles pomocí Galoisovy grupy souvisí s Galoisovou teorií, která vznikla jako nástroj pro popis řešení polynomiálních rovnic. Historicky stál u zrodu této teorie Évariste Galois, který je považován za zakladatele teorie grup.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť E je rozšíření tělesa F (zapisuje se jako E/F). Automorfizmus E/F je takový automorfizmus \alpha tělesa E, který zachovává všechny prvky F, t.j. \alpha(x)=x pro každé x\in F. Množina všech automorfizmů E/F spolu s operací skládání tvoří grupu, která se nazývá Galoisova grupa. Značí se Gal(E/F), anebo Aut(E/F).

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Fundemantální věta Galoisovy teorie tvrdí, že podgrupy Galoisovy grupy odpovídají mezitělesům F\subseteq X\subseteq E.[1] Tato korespondence přiřadí podgrupě H podtěleso E, které je fixováno touto podgrupou.

V případě nekonečného rozšíření E/F uvažujeme v této korespondenci pouze uzavřené podgrupy vůči tzv. Krollově topologii.

Galoisovy grupy se začaly zkoumat v souvislosti se snahou řešit polynomiální rovnice vyššího stupně pomocí sčítání, odečítávání, násobení, dělení a odmocnin racionálních čísel a koeficientů daného polynomu. Takové řešení existuje právě když Galoisova grupa polynomu je řešitelná.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. ROTMAN, Joseph J.. Galois theory. [s.l.] : Birkhäuser, 1998. 157 s. ISBN 9780387985411. S. 83-84. (anglicky)