Galoisova grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Galoisova grupa je pojem z algebry. Je to grupa definována pro těleso a jeho konečné rozšíření. Studium rozšíření těles pomocí Galoisovy grupy souvisí s Galoisovou teorií, která vznikla jako nástroj pro popis řešení polynomiálních rovnic. Historicky stál u zrodu této teorie Évariste Galois, který je považován za zakladatele teorie grup.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je rozšíření tělesa (zapisuje se jako ). Automorfizmus je takový automorfizmus tělesa , který zachovává všechny prvky , t.j. pro každé . Množina všech automorfizmů spolu s operací skládání tvoří grupu, která se nazývá Galoisova grupa. Značí se , anebo .

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • obsahuje dva prvky: identitu a komplexní sdružení.
  • Nechť je těleso racionálních čísel a . Pak obsahuje identitu a zobrazení .
  • Nechť je prvočíslo a je Galoisovo těleso o prvcích, jeho nejmenší podtěleso. Pak je cyklická grupa řádu .
  • Nechť je ireducibilní polynom s racionálními koeficienty stupně , jeho rozkladové těleso a nechť má v právě dva nereálné kořeny. Pak (někdy se také nazývá Galoisova grupa polynomu ) je izomorfní symetrické grupě . Její prvky permutují kořeny polynomu .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Fundamentální věta Galoisovy teorie tvrdí, že podgrupy Galoisovy grupy odpovídají mezitělesům .[1] Tato korespondence přiřadí podgrupě podtěleso , které je fixováno touto podgrupou.

V případě nekonečného rozšíření uvažujeme v této korespondenci pouze uzavřené podgrupy vůči tzv. Krollově topologii.

Galoisovy grupy se začaly zkoumat v souvislosti se snahou řešit polynomiální rovnice vyššího stupně pomocí sčítání, odečítávání, násobení, dělení a odmocnin racionálních čísel a koeficientů daného polynomu. Takové řešení existuje právě když Galoisova grupa polynomu je řešitelná.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. ROTMAN, Joseph J.. Galois theory. [s.l.] : Birkhäuser, 1998. 157 s. ISBN 9780387985411. S. 83-84. (anglicky)