Rozkladové těleso

V abstraktní algebře, podoboru matematiky, se rozkladovým tělesem polynomu s koeficienty z nějakého tělesa rozumí nejmenší nadtěleso tohoto tělesa, ve kterém lze onen polynom rozložit na součin polynomů stupně jedna.

Formální definice

Nechť je dáno těleso $T$, jeho nadtěleso $U$ a mnohočlen $p(x)\in T[x]$. Pak $U$ je rozkladové těleso mnohočlenu $p(x)$, pokud lze polynom $p$ rozložit v $U$na lineární polynomy, tedy

$p(x)=\prod _{i=1}^{\deg(p)}(x-a_{i}),$

přičemž $a_{i}\in U$, a koeficienty $a_{i}$ generují $U$ nad $T$.

Vlastnosti

Lze ukázat, že rozkladové těleso je jednoznačné až na izomorfismus.

Máme-li dáno algebraicky uzavřené těleso $V$ obsahující $T$, pak existuje pro daný mnohočlen jednoznačně určené rozkladové těleso $U$, které je podtělesem $V$, a je generované právě kořeny $p$.

Příklady

• Těleso komplexních čísel je rozkladové těleso polynomu $x^{2}+1$ z tělesa reálných čísel.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Splitting field na anglické Wikipedii.