D'Alembertovo kritérium

D'Alembertovo kritérium, též nazývané podílové kritérium, je kritérium konvergence nekonečné řady, poprvé publikované Jeanem le Rond d'Alembertem.

Znění kritéria

Nechť $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ je nekonečná řada, nechť existuje limita $L:=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|.$

Potom:

Pokud L < 1, řada absolutně konverguje.
Pokud L > 1, řada nekonverguje.
Pokud L = 1, d'Alembertovo kritérium není použitelné.

V případe, že limita $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ neexistuje, je možné použít následující zevšeobecnění kritéria:

Pokud $\lim {\textrm {sup}}\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ , řada absolutně konverguje.
Podmínka, že pro nekonečně mnoho n platí nerovnost $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1$ , není postačující pro rozhodnutí o divergenci či konvergenci řady.
Pokud neplatí ani jedna z předcházejících možností, kritérium není použitelné.

Případy, kdy L = 1

Pokud není d'Alembertovo kritérium použitelné (neboť L = 1), je možné vyzkoušet ještě některá další související, avšak jemnější kritéria.

(Limitní) Raabeovo kritérium

S tímto kritériem přišel Joseph Ludwig Raabe. Platí, že pokud $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ je nekonečná řada s kladnými členy $a_{n}$ a

\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)=L,

tak

Pokud $L>1$ (včetně $L=\infty$ ), tak řada konverguje.
Pokud $L<1$ , řada diverguje.
Pokud $L=1$ , kritérium nelze použít.

(Obyčejné) Raabeovo kritérium

Pokud $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ je nekonečná řada s kladnými členy $a_{n}$ a existují $r\in \mathbb {R} ,r>1$ a $n_{0}\in \mathbb {N}$ taková, že pro $n\geq n_{0}$ platí $n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)\geq r>1$ , tak řada konverguje.

Pokud naopak existuje $n_{0}\in \mathbb {N}$ takové, že pro $n\geq n_{0}$ platí $n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)\leq 1$ , potom řada diverguje.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku D’Alembertovo kritérium na slovenské Wikipedii.

Související články