Kvartická rovnice

Kvartická rovnice je algebraická rovnice o jedné neznámé, kterou lze vyjádřit v obecném tvaru

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,

,

kde $a\neq 0$ .

U kvartických rovnic se používá následující terminologie:

$ax^{4}$ – kvartický člen
$bx^{3}$ – kubický člen
$cx^{2}$ – kvadratický člen
$dx$ – lineární člen
$e$ – absolutní člen

Bikvadratická rovnice

Speciálním případem kvartické rovnice je rovnice bikvadratická, která má tvar

ax^{4}+bx^{2}+c=0\,

Řešení bikvadratické rovnice

Bikvadratickou rovnici lze řešit pomocí substituce $z=x^{2}$ , čímž vznikne kvadratická rovnice

az^{2}+bz+c=0\,

Řešení této kvadratické rovnice lze vyjádřit ve tvaru

z_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,

Toto řešení použijeme pro získání hodnot $x$ , které jsou řešením původní bikvadratické rovnice, přičemž platí

x_{1,2}=\pm {\sqrt {z_{1}}}

x_{3,4}=\pm {\sqrt {z_{2}}}

Obecné řešení kvartické rovnice

Obecné řešení kvartické rovnice lze najít analyticky jen velmi obtížně, jedná se o nejvyšší (čtvrtý) stupeň algebraické rovnice, která je řešitelná analyticky (tj. pomocí 4 základních aritmetických operací a odmocňování). Jako první nalezl řešení Ital Ludovico Ferrari někdy v 16. století, když byl žákem Girolama Cardana, nicméně existuje mnoho elegantnějších metod, jak takové rovnice řešit. Jednu z nich předložil např. Francouz René Descartes a tuto metodu zde uvedeme.

Řešení spočívá v následujícím postupu:

1. Máme kvartickou rovnici

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

Vydělíme-li rovnici koeficientem $a$ kvartického členu $x^{4}$ , tím získáme rovnici, jejíž koeficient kvartického členu bude 1. Nově získaná rovnice bude vypadat takto:

$x^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0$

2. Použijeme substituci

$x=y-{\frac {B}{4}}\,$

Tím dostaneme jinou rovnici s novou neznámou $y$ . Mezi neznámými $x$ , $y$ však existuje vztah, takže dokážeme-li najít neznámou $y$ , pak dokážeme najít i neznámou $x$ . Tuto konkrétní substituci jsme zvolili proto, abychom získali jistý speciální tvar nové rovnice – tato rovnice bude mít tzv. redukovaný tvar:

$y^{4}+Py^{2}+Qy+R=0\qquad \qquad (1)$

3. Rozložíme čtyřčlen $y^{4}+Py^{2}+Qy+R=0$ na dva kvadratické trojčleny, jejichž koeficienty kvadratických členů $y^{2}$ budou mít hodnotu 1. Označme ostatní koeficienty jako $K$ , $L$ , $M$ , $N$ . Má tedy platit, že:

$y^{4}+Py^{2}+Qy+R=(y^{2}+Ky+L)(y^{2}+My+N)$ ,

a tedy z předchozího kroku plyne: $(y^{2}+Ky+L)(y^{2}+My+N)=0$

Aby rovnost platila, musí platit následující vztahy (což zjistíme po roznásobení kvadratických trojčlenů výše):

$K+M=0$ (tento vztah jsem získal tak, že jsem si uvědomil, že celkový koeficient kubického členu $y^{3}$ musí být 0, abych ho mohl vypustit a získat namísto pětičlenu jen čtyřčlen)

$KM+L+N=P$

$KN+LM=Q$

$LN=R$

4. Všimneme si, že vztah $K+M=0$ lze snadno přetvořit na $-K=M$ , čehož využijeme a dosadíme výraz $-K$ do trojčlenu $y^{2}+My+N$ namísto $M$ , čímž získáme rovnost

$y^{4}+Py^{2}+Qy+R=(y^{2}+Ky+L)(y^{2}-Ky+N)$

5. Roznásobíme nově vzniklé trojčleny a získáme následující rovnosti:

$L+N-K^{2}=P$

$KN-KL=Q$

$LN=R$

První dva z těchto vztahů ještě vhodně upravím:

$L+N=P+K^{2}$

$L-N=-{\frac {Q}{K}}\,$

6. Zaměříme se nyní na dvojici výrazů $L$ , $N$ . Podařilo se mi vyjádřit jejich součet $L+N$ , jejich rozdíl $L-N$ a jejich součin $LN$ . O součtu, součinu a rozdílu dvou libovolných hodnot platí vztah:

$(A+B)^{2}-(A-B)^{2}=4AB$

Úplně stejný vztah nyní uplatním na výrazy $L$ , $N$ :

$(L+N)^{2}-(L-N)^{2}=4LN$

Místo součtu, součinu a rozdílu hodnot $L$ , $N$ ale dosadím jejich jiné vyjádření, které jsem získal v 5. kroku.

$(P+K^{2})^{2}-(-{\frac {Q}{K}}\,)^{2}=4R$

7. Uvědomíme si, že hodnoty $P$ , $Q$ , $R$ jsou parametry, a tedy konkrétní číselné hodnoty, které známe. Proto se jedná o rovnici s neznámou $K$ . Rovnici postupně upravím, až dostanu tvar:

$K^{6}+2PK^{4}+K^{2}(P^{2}-4R)-Q^{2}=0$

8. Všimneme si, že v rovnice obsahuje pouze sudé mocniny neznámé $K$ . Proto položíme substituci $S=K^{2}$ . Tím získám kubickou rovnici, kterou už není tak těžké vyřešit.

9. Zjistili jsme neznámou $S$ a tedy i $K$ . Po dosazení číselné hodnoty $K$ do vztahů z 5. kroku snadno zjistíme hodnoty $L$ , $N$ . Tím jsme nalezli konkrétní číselné koeficienty obou trojčlenů.

10. Nyní se vrátíme k rovnosti z 3. kroku:

$(y^{2}+Ky+L)(y^{2}-Ky+N)=0$ .

Kdy je součin trojčlenů roven nule? Právě tehdy, je-li aspoň jeden trojčlen roven 0. Z toho plyne, že kořeny $y_{1,2}$ získáme vyřešením kvadratické rovnice $y^{2}+Ky+L=0$ , zatímco kořeny $y_{3,4}$ vyřešením kvadratické rovnice $y^{2}-Ky+N=0$ .

11. Známe-li kořeny $y_{1,2,3,4}$ , pomocí vztahu z 2. kroku již snadno nalezneme kořeny původní rovnice $x_{1,2,3,4}$ .

Poznámka – Řešení by šlo jistě vyjádřit i pomocí původních koeficientů $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , ale jeho zápis by byl poměrně komplikovaný a nepraktický, proto ho zde neuvádíme. Analytické řešení je sice přesné, ale někdy je výhodné hádat některé kořeny nebo se pokusit z hlavy rozložit aspoň částečně pětičlen, je-li řešení vidět hned, a tím zredukovat rovnici na nižší stupně.

Např. rovnici $x^{4}+6x^{3}-x-6=0$ lze snadno rozložit na $(x+6)(x^{3}-1)=0$ , popř. ještě dál na: $(x+6)(x-1)(x^{2}+x+1)=0$ , a tak uhodnout z hlavy kořeny $x_{1}=-6$ , $x_{2}=1$ .