Monotónní funkce

Příklad ryze monotónní (rostoucí) funkce

Funkce je monotónní v bodě, na určitém intervalu, množině nebo v celém svém definičním oboru, pokud je v daném bodě, na celém daném intervalu, množině, resp. definičním oboru neklesající nebo nerostoucí.

Tato vlastnost bývá nazývána monotonnost, popř. monotonicita.

Funkce je ryze monotónní v bodě, na určitém intervalu, množině nebo v celém svém definičním oboru, pokud je v daném bodě, na celém daném intervalu, množině, resp. definičním oboru rostoucí nebo klesající.

Konstantní funkce je podle této definice monotónní, ale není ryze monotónní.

Definice

Funkce $f$ definovaná na množině $M$ je na této množině (ostře, ryze) rostoucí právě tehdy, když pro každé dva body $x,y\in M$ platí

$x<y\Rightarrow f(x)<f(y)$

Funkce $f$ definovaná na množině $M$ je na této množině (ostře, ryze) klesající právě tehdy, když pro každé dva body $x,y\in M$ platí

$x<y\Rightarrow f(x)>f(y)$

Funkce $f$ definovaná na množině $M$ je na této množině neklesající právě tehdy, když pro každé dva body $x,y\in M$ platí

$x<y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$

Funkce $f$ definovaná na množině $M$ je na této množině nerostoucí právě tehdy, když pro každé dva body $x,y\in M$ platí

$x<y\Rightarrow f(x)\geq f(y)$

Je zřejmé, že je-li funkce rostoucí, je neklesající a je-li funkce klesající, je nerostoucí.

Výše uvedené definice popisují globální monotonii.

Graf funkce, která na intervalu $\langle A,B\rangle$ není monotónní, ale je monotónní na jeho určitých podintervalech; na intervalu $\langle A,x_{2}\rangle$ a $\langle x_{3},x_{5}\rangle$ je rostoucí, na intervalu $\langle x_{2},x_{3}\rangle$ a $\langle x_{5},B\rangle$ je klesající.

Na obrázku vpravo je funkce rostoucí například v intervalu $\langle x_{3},x_{5}\rangle$, klesající například v intervalu $\langle x_{2},x_{3}\rangle$.

Interval, na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá interval monotonie.

Monotonie lokální (v bodě): Funkce je po řadě rostoucí, klesající, neklesající resp. nerostoucí v bodě $a$, jestliže existuje nějaké okolí $U(a)$ bodu $a$, na kterém je funkce rostoucí, klesající, neklesající resp. nerostoucí. To je ekvivalentní s tím, že
Funkce je rostoucí, pokud pro všechna $x$ v tomto okolí platí:

$x>a\Rightarrow f(x)>f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)<f(a)$.

Obdobně je funkce klesající, pokud

$x>a\Rightarrow f(x)<f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)>f(a)$,

nerostoucí pro

$x>a\Rightarrow f(x)\leq f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)\geq f(a)$,

a neklesající pro

$x>a\Rightarrow f(x)\geq f(a)\quad \land \quad x<a\Rightarrow f(x)\leq f(a)$.

Derivace monotónní funkce

Pokud funkce $f(x)$ má v bodě $a$ derivaci $f^{\prime }(a)$, lze ji použít k vyšetření monotonie funkce, přičemž platí následující implikace (které nelze obrátit):

• Jestliže $f^{\prime }(a)>0$, pak $f(x)$ je v bodě $a$ rostoucí.
• Jestliže $f^{\prime }(a)<0$, pak $f(x)$ je v bodě $a$ klesající.
• Jestliže $f(x)$ je v bodě $a$ neklesající, pak $f^{\prime }(a)\geq 0$.
• Jestliže $f(x)$ je v bodě $a$ nerostoucí, pak $f^{\prime }(a)\leq 0$.

Terminologie

Někteří autoři používají termín rostoucí bez přívlastku pro funkce, které jsou ve výše uvedené definici nazývány neklesající a klesající pro funkce podle uvedené definice nerostoucí.

Odkazy

Související články

• Prostá funkce
• Průběh funkce

Portály: Matematika