Kleinova láhev

Kleinova láhev je plošný geometrický útvar, který si lze zjednodušeně představovat jako uzavřenou nádobu, která nemá vnitřek ani vnějšek. Nelze ji realizovat v trojrozměrném prostoru, aniž by se protínala – to je možno v prostoru nejméně čtyřrozměrném. Pro Kleinovu láhev nelze rozhodnout, který bod prostoru je „venku“ a který „uvnitř“ (tato vlastnost se v topologii nazývá neorientovatelnost). Z toho přímo plyne, že tato plocha má jen jeden povrch.

Byla pojmenována po německém matematikovi Felixi Kleinovi, který ji roku 1882 jako první popsal. Dalším útvarem s podobnými vlastnostmi je Möbiova páska.

Etymologie

Název Kleinova láhev vznikl z původního německého Kleinsche Fläche (Kleinova plocha, podle Felixe Kleina), což však bylo kvůli vizuální podobnosti třírozměrné realizace Kleinovy láhve s jakousi pokroucenou nádobou často zaměňováno s Kleinsche Flasche (Kleinova láhev). Tento pozměněný název pak přes angličtinu přešel doslovným překladem do většiny ostatních jazyků.

Definice

Kleinova láhev je dvourozměrná varieta vytvořená následujícím způsobem. Vezměme uzavřený jednotkový čtverec [0,1]² s euklidovskou topologií (tj. otevřené množiny jsou právě sjednocení otevřených kruhů) a „slepme“ vždy dvě a dvě jeho protější strany tak, aby šipky v následujícím obrázku byly přilepeny na sebe.

Přesněji řečeno vytvoříme kvocientový prostor faktorizací čtverce podle ekvivalence (0,y) ~ (1,y) pro 0 ≤ y ≤ 1 a (x,0) ~ (1-x,1) pro 0 ≤ x ≤ 1. Na výsledném prostoru lze zřejmým způsobem zavést strukturu dvourozměrné variety – tato varieta se nazývá Kleinova láhev.

Znázornění ve 3D

V trojrozměrném prostoru není možné Kleinovu láhev realizovat tak, aby se sama neprotínala. Pro představu jejího vzhledu je vhodné postupovat podle následujících obrázků.

Je dán jednotkový čtverec s vyznačenou orientací hran. Po slepení dvou červených hran získáme válec bez podstav. Ten lze ohnout tak, až jeden jeho konec „prorazí“ pláštěm dovnitř, a poté ho vytáhnout ven opačným koncem válce. Modré podstavné kružnice jsou nyní orientovány „souhlasně“, takže jejich slepením vznikne Kleinova láhev.

Jednotkový čtverec s vyznačenou orientací hran
Po slepení červených hran vzniká válec bez podstav.
Válec (trubice) je ohýbán.
Válec (trubice) je ohýbán.
Ve trojrozměrném světě protne sama sebe a je vytažena opačným koncem ven.
„Ohrnutím“ konce je možno ho přilepit k opačnému konci tak, aby šipky souhlasily.

Všimněme si, rozřízneme-li již hotovou Kleinovu láhev podle červené čáry, získáme Möbiovu pásku. Jinými slovy začneme-li Kleinovu láhev konstruovat tak, že po nezbytném překroucení čtverce nejprve slepíme dvě jeho modré hrany, získáme právě Möbiovu pásku, kterou pak následně slepíme podle její jediné hrany.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Kleinova láhev na Wikimedia Commons
Kleinova láhev a Möbiova páska – Youtube.com
Výroba Kleinovy lahve - Youtube.com