Heronův vzorec

Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v euklidovské rovině) pomocí délek jeho stran.

Vzorec

Jsou-li $a,b,c$ délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah

S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},

kde $s={\frac {a+b+c}{2}}$ je poloviční obvod trojúhelníku.

Důkaz

Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro pravoúhlý trojúhelník na obrázku platí:

$\ x^{2}+v^{2}=c^{2}$

$\ (a-x)^{2}+v^{2}=b^{2}$

Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:

$\ a^{2}-2ax=b^{2}-c^{2}$

Z tohoto vztahu vyjádříme x:

$x={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}}$

Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:

$\ v^{2}=c^{2}-x^{2}$

$v^{2}=c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}}\right)^{2}$

$v^{2}=c^{2}-{\frac {\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4a^{2}}}$

$v^{2}={\frac {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4a^{2}}}$

$v={\frac {\sqrt {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{2a}}$

Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku

$S={\frac {av}{2}},$

dostaneme

$S={\frac {\sqrt {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{4}}$

Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:

$S={\frac {\sqrt {\left(2ac+a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)\left(2ac-a^{2}-c^{2}+b^{2}\right)}}{4}}$

$S={\frac {\sqrt {\left[\left(a+c\right)^{2}-b^{2}\right]\left[b^{2}-\left(a-c\right)^{2}\right]}}{4}}$

$S={\frac {\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)\left(b+a-c\right)\left(b-a+c\right)}}{4}}$

Dosadíme poloviční obvod s,

$\ a+b+c=2s$

a dostáváme výsledný vzorec:

$S={\frac {\sqrt {2s\left(2s-2a\right)\left(2s-2b\right)\left(2s-2c\right)}}{4}}$

$S={\frac {\sqrt {16s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}{4}}$

$S={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$