Čtyřúhelník V geometrii je Bretschneiderův vzorec následující výraz pro obsah obecného čtyřúhelníku :
S
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
1
2
a
b
c
d
[
1
+
cos
(
α
+
γ
)
]
{\displaystyle ={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}}
a b c d s α γ
Bretschneiderův vzorec lze použít na jakémkoli čtyřúhelníku, ať už je pravidelný , nebo ne.
Německý matematik Carl Anton Bretschneider objevil vzorec v roce 1842. Vzorec byl také odvozen ve stejném roce německým matematikem Karlem Georgem Christianem Staudtem.
Označte obsah čtyřúhelníku S je pak:
S
=
obsah
△
A
D
B
+
obsah
△
B
D
C
=
a
d
sin
α
2
+
b
c
sin
γ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\text{obsah}}\triangle ADB+{\text{obsah }}\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}
2
S
=
(
a
d
)
sin
α
+
(
b
c
)
sin
γ
.
{\displaystyle 2S=(ad)\sin \alpha +(bc)\sin \gamma .}
4
S
2
=
(
a
d
)
2
sin
2
α
+
(
b
c
)
2
sin
2
γ
+
2
a
b
c
d
sin
α
sin
γ
.
{\displaystyle 4S^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .}
Věta kosinova naznačuje
a
2
+
d
2
−
2
a
d
cos
α
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
γ
,
{\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,}
protože obě strany se rovnají čtverci délky diagonály BD
(
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
)
2
4
=
(
a
d
)
2
cos
2
α
+
(
b
c
)
2
cos
2
γ
−
2
a
b
c
d
cos
α
cos
γ
.
{\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}
Přidá se k výše uvedenému vzorci
4
S
2
{\displaystyle 4S^{2}}
4
S
2
+
(
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
)
2
4
=
(
a
d
)
2
+
(
b
c
)
2
−
2
a
b
c
d
cos
(
α
+
γ
)
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
2
a
b
c
d
−
2
a
b
c
d
cos
(
α
+
γ
)
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
2
a
b
c
d
(
cos
(
α
+
γ
)
+
1
)
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
4
a
b
c
d
(
cos
(
α
+
γ
)
+
1
2
)
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
4
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}4S^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd(\cos(\alpha +\gamma )+1)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}}
cos
2
α
+
γ
2
=
1
+
cos
(
α
+
γ
)
2
{\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {1+\cos(\alpha +\gamma )}{2}}}
Podle stejných kroků jako ve vzorci Brahmagupty to může být napsáno jako
16
S
2
=
(
a
+
b
+
c
−
d
)
(
a
+
b
−
c
+
d
)
(
a
−
b
+
c
+
d
)
(
−
a
+
b
+
c
+
d
)
−
16
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle 16S^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}
Představení polovičního obvodu
s
=
a
+
b
+
c
+
d
2
,
{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},}
dosazením výše
16
S
2
=
16
(
s
−
d
)
(
s
−
c
)
(
s
−
b
)
(
s
−
a
)
−
16
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle 16S^{2}=16(s-d)(s-c)(s-b)(s-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}
S
2
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle S^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}
a Bretschneiderův vzorec následuje po druhé odmocnině obou stran:
S
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
⋅
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}
Bretschneiderův vzorec zobecňuje vzorec Brahmaguptyho pro oblast tětivového čtyřúhelníku , který zase zobecňuje Heronův vzorec pro oblast trojúhelníku .
Trigonometrické přizpůsobení ve vzorci Bretschneidera pro necyklickost čtyřúhelníku může být přepsáno netrigonometricky z hlediska stran a diagonál e f [ 1] [ 2]
S
=
1
4
4
e
2
f
2
−
(
b
2
+
d
2
−
a
2
−
c
2
)
2
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
1
4
(
a
c
+
b
d
+
e
f
)
(
a
c
+
b
d
−
e
f
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}.\end{aligned}}}
↑ JL Coolidge, "Historicky zajímavý vzorec pro oblast čtyřúhelníku", American Mathematical Monthly JSTOR )
↑ EW Hobson : Pojednání o rovinné trigonometrii . Cambridge University Press, 1918, str. 204-205
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bretschneider's formula
Ayoub B. Ayoub: Zobecnění Ptolemaia a Brahmaguptaových vědomostí . Matematika a počítačová výchova, číslo 41, číslo 1, 2007, ISSN 0730-8639
EW Hobson : Pojednání o rovinné trigonometrii . Cambridge University Press, 1918, s. 204-205 ( online kopie )
CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 ( online kopie, němčina )
F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 ( online kopie, němčina )
![{\displaystyle ={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2d4d8d2f493fb3b1f84bbc6cae1dcd95e502da)
