Čchuův prostor

Čchuovy prostory zobecňují pojem topologický prostor tak, že upouštějí od požadavků, že množina otevřených množin musí být uzavřena pod sjednocením a konečným průnikem, že otevřené množiny musí být extenzionální a že predikát náležení do množiny nabývá dvou hodnot (ano / ne). Definice spojitého zobrazení zůstává nezměněna, pouze musí být pečlivě formulována, aby po těchto zevšeobecněních dávala smysl.

Jmenují se po Pcho-Siang Čchuovi, který jako postgraduální student původně zkonstruoval verifikaci autonomních kategorií pod vedením Michaela Barra v roce 1979. ^[1]

Definice

Čchuův prostor nad množinou K je trojice (A, r, X) se skládá z množiny bodů A, množiny stavů X a funkce r : A × X → K. To z něj dělá matici A × X s položkami čerpanými z K nebo ekvivalentně binární relaci mezi A a X, ohodnocenou v K (běžné binární relace nabývají 2 hodnot).

Dynamicky vzato, Čchuovy prostory se transformují podobně jako topologické prostory, kde A je chápáno jako množina bodů, X jako množina otevřených množin a r jako vztah náležení mezi nimi, přičemž K vyjadřuje všechny možné stupně náležení. Protějškem spojité funkce z (A, r, X) do (B, s, Y) je dvojice (f, g) funkcí f : A → B, g : Y → X splňující podmínku adjungovanosti: s(f(a), y) = r(a, g(y)) pro všechna a ∈ A a y ∈ Y. Jinými slovy, f zobrazuje body "dopředu", zatímco g zobrazuje stavy "dozadu". Podmínka adjungovanosti z g dělá funkci inverzního obrazu f ⁻¹ a to, že za obor hodnot g vezmeme X, odpovídá požadavku, aby byl vzor otevřené množiny otevřený. Taková dvojice se nazývá Čchuova transformace nebo morfismus Čchuových prostorů.

Topologický prostor (X, T), kde X je množina bodů a T množina otevřených množin, lze chápat jako Čchuův prostor (X, ∈, T) nad {0, 1}. Jinými slovy, body topologického prostoru jsou body v Čchuově prostoru a otevřené množiny jsou stavy a vztah náležení " ∈ " mezi body a otevřenými množinami se v Čchuových prostorech stává explicitním. Podmínku, že otevřené množiny jsou uzavřeny pod libovolným sjednocením a konečným průnikem, lze vyjádřit odpovídající podmínkou na sloupcích matice daného prostoru. Spojitou funkci f : X → X' mezi dvěma topologickými prostory lze vyjádřit adjungovanou dvojicí (f, g), v němž je nyní spojitost f realizována jako explicitní funkce g, která vrací požadované otevřené vzory v definičním oboru f.

Struktura kategorie

Kategorie Čchuových prostorů nad K a jejich morfismů se značí Chu(Set, K). Ze symetrických definic je zřejmé, že se jedná o samo-duální kategorii: je ekvivalentní (ve skutečnosti izomorfní) ke své duální kategorii, získanou obrácením všech morfismů. Dále jde o *-autonomní kategorii s dualizačním objektem (K, λ, {*}), kde λ : K × {*} → K je definováno λ(k, *) = k (Barr 1979). Díky tomu jde o model lineární logiky Jeana-Yvese Girarda (Girard 1987).

Varianty

Obecnější obohacená kategorie Chu(V , k) se původně objevila v dodatku k Barr (1979). Koncept Čchuových prostorů vytvořil Michael Barr a podrobnosti rozpracoval jeho student Pcho-Siang Čchu, jehož diplomová práce tvořila zmíněný dodatek. Obyčejné Čchuovy prostory vzniknou v případě, že V = Set, tedy když za monoidální kategorii V vezmeme kartézsky uzavřenou kategorii Set, množin a funkcí mezi nimi. Nebyly ovšem samy o sobě studovány po více než deset let od zavedení obecnější definice. Varianta Čchuových prostorů, zvaná dialektické prostory, vytvořená de Paivou (1989), nahrazuje morfismovou podmínku (1) podmínkou (2):

s(f(a), y) = r(a, g(y)).
s(f(a), y) ≤ r (a, g(y)).

Univerzálnost

Kategorii Top topologických prostorů a spojitých zobrazení lze vnořit do Chu(Set, 2) v tom smyslu, že existuje úplný a věrný funktor F : Top → Chu(Set, 2), který každému topologickému prostoru (X, T) přiřadí jeho reprezentaci F((X, T)) = (X, ∈, T), viz výše. Tato reprezentace navíc tvoří realizaci ve smyslu Pultra a Trnkové (1980), zejména proto, že reprezentující Čchuův prostor má stejnou množinu bodů jako reprezentovaný topologický prostor a oba se transformují stejným způsobem prostřednictvím stejných funkcí.

Čchuovy prostory jsou pozoruhodné díky široké škále známých struktur, které realizují. Lafont a Streicher (1991) podotýkají, že Čchuovy prostory nad 2 realizují jak topologické prostory, tak koherenční prostory (zavedené J.-Y. Girardem (1987) k modelování lineární logiky). Čchuovy prostory nad K realizují libovolnou kategorii vektorových prostorů přes pole, jehož mohutnost je maximálně |K|. Vaughan Pratt (1995) dále zjistil, že n-ární relační struktury lze modelovat pomocí Čchuových prostorů nad 2ⁿ. Například kategorii Grp, grup a jejich homomorfismů, realizuje Chu(Set, 8), protože grupovou operaci lze brát za ternární relaci. Chu(Set, 2) realizuje širokou škálu „logických“ struktur, jako jsou polosvazy, distributivní svazy, úplné a úplně distributivní svazy, Booleovy algebry, úplné atomické Booleovy algebry atd. Další informace o různých aspektech Čchuových prostorů, včetně jejich uplatnění při modelování paralelních výpočtů, se nacházejí na Chu Spaces.

Použití

Automaty

Čchuovy prostory mohou sloužit jako model paralelních výpočtů v teorii automatů k vyjádření větvícího času a skutečné souběžnosti. Čchuovy prostory vykazují kvantové jevy komplementarity a neurčitosti. Komplementarita vyvstává z duality informace a času, automatů a rozvrhů, stavů a událostí. Neurčitost vyvstává, když je za měření brán morfismus, který komplexnější struktury pozorovaného objektu zobrazí na neurčitější reprezentaci pozorování. Tuto neurčitost lze spočítat numericky z jejího tvarového faktoru. Tím dostaneme obvyklou Heisenbergovu relaci neurčitosti. Čchuovy prostory odpovídají vlnovým funkcím jakožto vektorům v Hilbertově prostoru. ^[2]

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Chu space na anglické Wikipedii.

↑ BARR, Michael. The Chu Construction: History of an Idea [online]. [cit. 2021-05-19]. McGill University. Dostupné online.
↑ PRATT, V.R. Proceedings Workshop on Physics and Computation. Phys Comp '94. [s.l.]: [s.n.], 1994. ISBN 978-0-8186-6715-2. DOI 10.1109/PHYCMP.1994.363682. Kapitola Chu spaces: Automata with quantum aspects, s. 186–195.

Literatura

BARR, M. *-Autonomous categories. Berlín: Springer-Verlag, 1979. (Lecture Notes in Mathematics; sv. 752). Dostupné online. ISBN 978-3-540-09563-7.
BARR, M. The Chu construction. Theory and Applications of Categories. 1996, roč. 2, čís. 2, s. 17–35.
GIRARD, J.-Y. Linear logic. Theoretical Computer Science. 1987, roč. 50, s. 1–102. DOI 10.1016/0304-3975(87)90045-4.
LAFONT, Y.; STREICHER, T. Games semantics for linear logic. Logic in Computer Science. IEEE Computer Society Press, 1991, s. 43–49. Proc. 6th Annual IEEE Symp. On Logic in Computer Science, Amsterdam, July 1991.
DE PAIVA, V. A dialectica-like model of linear logic. Lecture Notes in Computer Science. Manchester: Springer-Verlag, září 1989, s. 341–356. Proc. Conf. on Category Theory and Computer Science.
PRATT, V. R. The Stone gamut: A coordinatization of mathematics. Proc. 10th Annual IEEE Symp. on Logic in Computer Science. Montreal: Červen 1995, s. 444–454.
PULTR, Aleš; TRNKOVÁ, Věra. Combinatorial, Algebraic and Topological Representations of Groups, Semigroups, and Categories. [s.l.]: North-Holland, 1980. Dostupné online.

Externí odkazy

Guide to Papers on Chu Spaces, webová stránka.

[1] BARR, Michael. The Chu Construction: History of an Idea [online]. [cit. 2021-05-19]. McGill University. Dostupné online.

[2] PRATT, V.R. Proceedings Workshop on Physics and Computation. Phys Comp '94. [s.l.]: [s.n.], 1994. ISBN 978-0-8186-6715-2. DOI 10.1109/PHYCMP.1994.363682. Kapitola Chu spaces: Automata with quantum aspects, s. 186–195.

[1]

[2]