Kvadratická rovnice

Jako kvadratická rovnice se v matematice označuje algebraická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznámé, ve které neznámá vystupuje ve druhé mocnině (x²). V základním tvaru vypadá následovně:

$ax^{2}+bx+c=0$

Zde jsou a, b nějaká reálná čísla, tzv. koeficienty této rovnice, x je neznámá. Koeficient a je vždy různý od nuly, neboť pro a = 0 se jedná o lineární rovnici. Často se kvadratická rovnice vyjadřuje v základním (normovaném) tvaru, kde a = 1. Do tohoto tvaru lze převést každou kvadratickou rovnici jejím vydělením koeficientem a.

Jednotlivé členy mají také svá pojmenování: ax² je kvadratický člen, bx je lineární člen a c absolutní člen.

Řešení rovnice

Při řešení rovnice se nejprve vypočítá tzv. diskriminant $D=b^{2}-4ac$. Podle jeho hodnoty pak mohou nastat tři případy:

• D = 0, tehdy má rovnice jedno (tzv. dvojnásobné) řešení $x={\frac {-b}{2a}}$. Původní rovnici je možno zapsat ve tvaru $a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}=0$.
• D > 0, tehdy má rovnice dvě různá reálná řešení $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$. Rovnici je možno zapsat ve tvaru $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$.
• D < 0, tehdy rovnice nemá v reálném oboru řešení. Jejím řešením jsou dvě komplexně sdružená čísla $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {-D}}}{2a}}$. Rovnici je opět možné napsat ve tvaru $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$, ovšem kořeny x_1,2 jsou nyní komplexní čísla.

Komplexní koeficienty

V nejobecnějším případě jsou také koeficienty $a,b,c$ komplexní čísla. Řešení získáme opět výpočtem diskriminantu $D=b^{2}-4ac$ a jeho druhé odmocniny v oboru komplexních čísel. Vzorec řešení je stejný jako v případě reálných koeficientů. $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$. Výsledkem jsou obecně dvě komplexní čísla, mezi nimiž nemusí být žádný vztah. Rovnici je opět možné napsat ve tvaru $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$. V případě nulového diskriminantu obě řešení splývají v jedno komplexní číslo $x_{0}$ a rovnice má tvar $a(x-x_{0})^{2}=0$.

Další rovnosti

Pro kořeny rovnice platí následující rovnosti (jedná se o speciální případ tzv. Vièteho vztahů):

• $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$
• $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

Geometrický význam

Levá strana rovnice (ax² + bx + c) popisuje parabolu s osou rovnoběžnou s osou y. Pokud je a>0, je parabola otevřená směrem nahoru (má vrchol dole), při a<0 je otevřená dolů (vrchol je nahoře). Řešení kvadratické rovnice odpovídá hledání průsečíků této paraboly s osou x (pravá strana z rovnice dělá výraz y=0). Podle polohy paraboly mohou nastat tři případy:

• Parabola leží celá nad (pro a>0) nebo celá pod (pro a<0) osou x. To nastane v případě, že D<0. Tehdy parabola nemá žádný průsečík s osou x, což znamená, že kvadratická rovnice nemá v reálných číslech řešení.
• Vrchol paraboly leží právě na ose x. To nastane v případě, že D=0. Tehdy se parabola osy x dotýká, tzn. má s ní jeden společný bod (právě vrchol paraboly), tzn. kvadratická rovnice má jedno řešení.
• V ostatních případech osa x parabolu protíná ve dvou bodech. To nastane v případě, že D>0. Tehdy existují dva průsečíky osy x s parabolou, tzn. rovnice má dvě různá řešení.

• 
  x² − x + 1: Celá parabola je nad osou x.
• 
  −x² − 2x − 2: Celá parabola je pod osou x.
• 
  −x² + 2x − 1: Parabola se dotýká osy x.
• 
  x² − 5x + 2: Osa x parabolu protíná.

Související články

• Parabola
• Lineární rovnice
• Kubická rovnice
• Kvartická rovnice
• Binomická rovnice

Externí odkazy

• Kvadratická rovnice v matematické encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Online výpočet kvadratické rovnice