Symetrická matice

Symetrická matice je v rámci lineární algebry každá taková čtvercová matice, která je osově souměrná podle své hlavní diagonály. Jinak řečeno se jedná o takovou čtvercovou matici, která je rovna matici k ní transponované, tedy $M=M^{\top }$ .

Formální definice

Čtvercová matice $M=(a_{ij})\in T^{n\times n}$ , tedy stupně $n$ nad tělesem $T$ , se nazývá symetrická, pokud pro všechna $i,j=1,\ldots ,n$ platí:

a_{ij}=a_{ji}

.

Příklady

Symetrickými maticemi nad reálnými čísly jsou například:

{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix}}

.

Obecně mají symetrické matice o rozměrech $2\times 2$ , $3\times 3$ a $4\times 4$ následující podobu:

{\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&e&f&g\\c&f&h&i\\d&g&i&j\end{pmatrix}}

.

Speciální případy

Některé symetrické matice se zvláštními vlastnostmi mají vlastní název:

čtvercová nulová matice obsahuje jen nulové prvky
čtvercová jedničková matice obsahuje jen jednotkové prvky
diagonální matice jsou takové matice, které mají mimo diagonálu jen nulové prvky
Hankelova matice je matice, která je konstantní v rámci diagonál vedoucích seshora zprava doleva dolů
bisymetrická matice je matice osově symetrická podle hlavní diagonály i vedlejší diagonály

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Symmetrische Matrix na německé Wikipedii.