Substituční metoda

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Substituční metoda se v matematice vyskytuje v několika významech.

Obsah

1 Integrování
- 1.1 Substituce ve vícerozměrných integrálech
2 Diferenciální rovnice
3 Číselné soustavy
- 3.1 Postup
4 Související články

[editovat] Integrování

Při substituční metodě zavádíme do integrálu novou proměnnou.

Pokud lze funkci $f (x)$ vyjádřit na intervalu $(a, b)$ ve tvaru $f(x) = g(h(x))h^\prime(x)$ , kde $h^\prime(x)$ je spojitá v intervalu $(a, b)$ a $g (z)$ je spojitá pro všechna $z = h (x)$ , pak pro $x \in (a,b)$ platí

$\int f(x) \mathrm{d}x = \int g(h(x)) h^\prime(x) \mathrm{d}x = \int g(z) \mathrm{d}z = G(z) + C = G(h(x)) + C$ ,

kde byla použita substituce $z = h (x)$ .

Jiným případem je substituce $x = φ(z)$ , kde funkce $φ$ je monotónní pro všechna $z$ z intervalu $(α,β)$ a má na tomto intervalu spojitou derivaci $\phi^\prime$ . Potom platí

$\int f(x) \mathrm{d}x = \int f(\phi(z)) \phi^\prime(z) \mathrm{d}z = H(z)+C$

Výsledek získáme tak, že ze vztahu $x = φ(z)$ vyjádříme proměnnou $z$ a dosadíme do $H (z) + C$ .

[editovat] Substituce ve vícerozměrných integrálech

Uvažujme uzavřenou n-rozměrnou oblast $M$ v proměnných $x i$ pro $i = 1,2,..., n$ , a uzavřenou n-rozměrnou oblast $N$ v proměnných $y i$ . Mezi oblastmi $M$ a $N$ nechť existuje vzájemně jednoznačné zobrazení $x i = φ i (y 1, y 2,..., y n)$ , přičemž existují spojité parciální derivace prvního řádu $\frac{\part \phi_i}{\part y_j}$ pro všechna $i, j$ a jakobián $\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)}$ je nenulový, tzn. $\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)} \ne 0$ . Pokud je na oblasti $M$ definována spojitá ohraničená funkce $f (x 1, x 2,..., x n)$ , pak

${\iint\cdots\int}_M f(x_1,x_2,...,x_n) \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots\mathrm{d}x_n = {\iint\cdots\int}_N f(\phi_1(y_1,y_2,...,y_n),\phi_2(y_1,y_2,...,y_n),...,\phi_n(y_1,y_2,...,y_n)) \left|\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)}\right| \mathrm{d}y_1 \mathrm{d}y_2 \cdots\mathrm{d}y_n$

V případě dvojného integrálu, kdy mezi oblastí $M$ o souřadnicích $x, y$ a oblastí $N$ o souřadnicích $u, v$ existuje vzájemně jednoznačné zobrazení $x = x (u, v), y = y (u, v)$ , má jakobián tvar

$\frac{D(x,y)}{D(u.v)} = \begin{vmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part x}{\part v} \\ \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part y}{\part v} \end{vmatrix}$

Je-li $\frac{D(x,y)}{D(u.v)} \ne 0$ , pak dostaneme pro funkci $f (x, y)$

$\iint_M f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_N f(x(u,v),y(u,v)) \left|\frac{D(x,y)}{D(u.v)}\right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v$

V případě trojného integrálu, kdy mezi oblastí $M$ o souřadnicích $x, y, z$ a oblastí $N$ o souřadnicích $u, v, w$ existuje vzájemně jednoznačné zobrazení $x = x (u, v, w), y = y (u, v, w), z = z (u, v, w)$ , má jakobián tvar

$\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)} = \begin{vmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part x}{\part w} \\ \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part y}{\part w} \\ \frac{\part z}{\part u} & \frac{\part z}{\part v} & \frac{\part z}{\part w} \end{vmatrix}$

Je-li $\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)} \ne 0$ , pak pro funkci $f (x, y, z)$ dostaneme výraz

$\iiint_M f(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iiint_N f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) \left|\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)}\right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$

[editovat] Diferenciální rovnice

Podrobnější informace naleznete v článku Obyčejné diferenciální rovnice.

Substituční (též Bernoulliova) metoda při řešení diferenciálních rovnic vychází z předpokladu, že hledanou funkci $y$ lze vyjádřit ve tvaru součinu dvou jiných funkcí $g, h$ , tzn. $y (x) = g (x) h (x)$ . Tento součin se dosadí do dané diferenciální rovnice.

[editovat] Číselné soustavy

Převody mezi číselnými soustavami lze provádět například substituční metodou.

Zápis čísel polynomem je základem pro tuto metodu převodu, podle které je číslo N zapsané v soustavě A převedeno do soustavy B v následujících dvou krocích:

číslo se vyjádří polynomem v soustavě A
výpočet se provede aritmetikou soustavy B

Substituční metoda je vhodná pro vzájemné převody mezi soustavou binární, hexadecimální a oktalovou a dále pro převod z těchto soustav do soustavy dekadické. Nehodí se však pro převod z dekadické do ostatních.

[editovat] Postup

Převodu čísel z různých soustav do soustavy dekadické:

nejprve se číslo, které chceme převést, vyjádří v původní číselné soustavě polynomem
následně se, již v aritmetice cílové soustavy, spočtou mocniny čísel, každá mocnina se vynásobí hodnotou příslušné číslice a vše se sečte

Příklad: $(10011{,}011)_2 = (1{\cdot}2^4+0{\cdot}2^3+0{\cdot}2^2+1{\cdot}2^1+1{\cdot}2^0+0{\cdot}2^{-1}+1{\cdot}2^{-2}+1{\cdot}2^{-3})_2 = (16+2+1+0{,}25+0{,}125)_{10} = (19{,}375)_{10}\,\!$