Stejnoměrně spojitá funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Stejnoměrná spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje spojitost funkce. O funkci ƒ můžeme říci, že je stejnoměrně spojitá, pokud obrazy ƒ(x) a ƒ(y) sobě dostatečně blízkých bodů x a y jsou si také blízko a tato vlastnost nezávisí na volbě x a y, ale pouze na jejich (dostatečně malé) vzdálenosti.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť (\mathcal{X}, \rho) a (\mathcal{Y}, \sigma) jsou metrické prostory. Funkci ƒ : X → Y nazveme stejnoměrně spojitou, pokud \forall \varepsilon \ \exists \delta tak, že \forall x,y \in X: \rho(x,y)<\delta platí \sigma(f(x),f(y))<\epsilon

Pokud X and Y jsou podmnožiny reálných čísel se standardní euklidovskou metrikou, můžeme říci, že funkce ƒ : X → Y je stejnoměrně spojitá, pokud \forall \varepsilon \ \exists \delta tak, že \forall x,y \in X: |x-y|<\delta platí |f(x)-f(y)|<\epsilon

Povšimněme si rozdílů oproti definici jen spojité funkce, konkrétně pořadí kvantifikátorů, u stejnoměrně spojité funkce hodnota \delta závisí pouze na velikosti \epsilon a nikoli na bodu x.

Definice využívající posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Stejnoměrnou spojitost reálné funkce můžeme definovat i pomocí posloupností. Nechť A je podmnožinou Rn, n\in \mathbb{N}. Funkce ƒ : A → Rm, m\in \mathbb{N} je stejnoměrně spojitá, pokud pro každou dvojici reálných posloupností xn a yn splňujících:

\lim_{n\to\infty} |x_n-y_n|=0\,

platí:

\lim_{n\to\infty} |f(x_n)-f(y_n)|=0.\,

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Funkce x \scriptstyle\mapsto kx,\ k\in\mathbb{R} je stejnoměrně spojitá na celé reálné ose.
  • Exponenciální funkce x \scriptstyle\mapsto\, ex je spojitá na celé reálné ose, ale není na ní stejnoměrně spojitá.
  • Nechť (\mathcal{X}, \rho) je metrický prostor. Pak \rho:X\times X \to \mathbb{R} je stejnoměrně spojitá funkce.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Spojitost funkce je lokální vlastnost funkce, zkoumáme, zda funkce je, či není spojitá v každém jednotlivém bodě. Pokud řekneme, že funkce je spojitá na intervalu, pak tím myslíme, že je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Oproti tomu stejnoměrná spojitost je vlastnost globální.
  • Každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá.
  • Spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Speciálně každá spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá.
  • Lipschitzovská funkce je stejnoměrně spojitá.
  • Pokud je reálná funkce f spojitá na intervalu [0, \infty) a existuje vlastní \lim_{x \to \infty} f(x), pak je funkce stejnoměrně spojitá na [0, \infty).
  • Složení dvou stejnoměrně spojitých funkcí je stejnoměrně spojité.