Stejnoměrně spojitá funkce

Stejnoměrná spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje spojitost funkce. O funkci ƒ můžeme říci, že je stejnoměrně spojitá, pokud obrazy ƒ(x) a ƒ(y) sobě dostatečně blízkých bodů x a y jsou si také blízko a tato vlastnost nezávisí na volbě x a y, ale pouze na jejich (dostatečně malé) vzdálenosti.

Definice

Nechť $(\mathcal{X}, \rho)$ a $(\mathcal{Y}, \sigma)$ jsou metrické prostory. Funkci ƒ : X → Y nazveme stejnoměrně spojitou, pokud $\forall \varepsilon \ \exists \delta$ tak, že $\forall x,y \in X: \rho(x,y)<\delta$ platí $\sigma(f(x),f(y))<\epsilon$

Pokud X and Y jsou podmnožiny reálných čísel se standardní euklidovskou metrikou, můžeme říci, že funkce ƒ : X → Y je stejnoměrně spojitá, pokud $\forall \varepsilon \ \exists \delta$ tak, že $\forall x,y \in X: |x-y|<\delta$ platí $|f(x)-f(y)|<\epsilon$

Povšimněme si rozdílů oproti definici jen spojité funkce, konkrétně pořadí kvantifikátorů, u stejnoměrně spojité funkce hodnota $\delta$ závisí pouze na velikosti $\epsilon$ a nikoli na bodu x.

Definice využívající posloupnosti

Stejnoměrnou spojitost reálné funkce můžeme definovat i pomocí posloupností. Nechť A je podmnožinou Rⁿ, $n\in \mathbb{N}$. Funkce ƒ : A → R^m, $m\in \mathbb{N}$ je stejnoměrně spojitá, pokud pro každou dvojici reálných posloupností x_n a y_n splňujících:

$\lim_{n\to\infty} |x_n-y_n|=0\,$

platí:

$\lim_{n\to\infty} |f(x_n)-f(y_n)|=0.\,$

Příklady

• Funkce x $\scriptstyle\mapsto kx,\ k\in\mathbb{R}$ je stejnoměrně spojitá na celé reálné ose.
• Exponenciální funkce x $\scriptstyle\mapsto\,$ e^x je spojitá na celé reálné ose, ale není na ní stejnoměrně spojitá.
• Nechť $(\mathcal{X}, \rho)$ je metrický prostor. Pak $\rho:X\times X \to \mathbb{R}$ je stejnoměrně spojitá funkce.

Vlastnosti

• Spojitost funkce je lokální vlastnost funkce, zkoumáme, zda funkce je, či není spojitá v každém jednotlivém bodě. Pokud řekneme, že funkce je spojitá na intervalu, pak tím myslíme, že je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Oproti tomu stejnoměrná spojitost je vlastnost globální.
• Každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá.
• Spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Speciálně každá spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá.
• Lipschitzovská funkce je stejnoměrně spojitá.
• Pokud je reálná funkce $f$ spojitá na intervalu $[0, \infty)$ a existuje vlastní $\lim_{x \to \infty} f(x)$, pak je funkce stejnoměrně spojitá na $[0, \infty)$.
• Složení dvou stejnoměrně spojitých funkcí je stejnoměrně spojité.