Integrační článek

Zapojení pasivního integrátoru

Integrační článek (integrátor) je elektrotechnická součástka, která v obvodu provádí matematickou funkci integrování – napětí na výstupu je integrálem napětí na vstupu podle času. Ideální integrační článek tak realizuje funkci

$u_2(t) = K_{\rm i} \int\limits_0^t {u_1(t) dt}$,

kde $K_{\rm i}$ je konstanta integrátoru.

Funkce

Odezva integračního článku na obdélníkové pulzy.

Integrační článek má frekvenční charakteristiku dolnopropustného filtru – se zvyšující se frekvencí vstupního napětí výstupní napětí klesá. U ideálního integrátoru odpovídá desetinásobnému zvýšení frekvence desetinásobný pokles amplitudy, sklon jeho logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky tedy je −20 dB/dek.

Přenos integračního článku je $F(j \omega)= \frac {U_2}{U_1} = \frac{1}{1+j \omega K_{\rm i}}$.

Integrační konstanta pasivního integrátoru s rezistorem a kondenzátorem je K_i  = RC, s rezistorem a cívkou K_i  = L/R.

Na integrátoru dochází k fázovému posunutí mezi vstupním a výstupním signálem, které je opět závislé na frekvenci signálu: s rostoucí frekvencí se posuv zvyšuje, asymptoticky dosahuje pro vysoké frekvence -90°.

Frekvence, při kterém dochází k poklesu napětí −3 dB (A_U = 0,707), se označuje jako frekvence zlomu. Fázový posuv je při něm roven -45°.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) integračního článku s rezistorem a kondenzátorem je:
$|F(j \omega)|_{dB}= 20 \log |F(j \omega)| = 20 \log 1 - 20 \log \sqrt{1+ \omega^2R^2C^2}$

První člen LAFCH je roven nule, u druhého členu lze diskutovat tři případy:
1) je-li $\omega RC << 1$, pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomového úhlové frekvence $\omega_0$ roven nule
2) je-li $\omega RC = 1$, je $\omega = \omega_0 = 1/RC = 1/K_i$ kde $\omega_0$ je úhlová frekvence zlomu
3) je-li $\omega RC >> 1$, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem ve zlomové úhlové frekvenci $\omega_0$ která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) integračního článku s rezistorem a cívkou je: $|F(j \omega)|_{dB}= 20 \log |F(j \omega)| = 20 \log 1 - 20 \log \sqrt{1+ \omega^2 \frac {L^2} {R^2}}$

První člen LAFCH je roven nule, u druhého členu lze diskutovat tři případy:
1) je-li $\omega L/R << 1$, pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomové úhlové frekvence $\omega_0$ roven nule
2) je-li $\omega L/R = 1$, je $\omega = \omega_0 = R/L = 1/K_i$ kde $\omega_0$ je úhlová frekvence zlomu
3) je-li $\omega L/R >> 1$, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem ve úhlové zlomové frekvenci $\omega_0$ která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika integračního článku (pasivní dolní propusti 1. řádu)

LAFCH je pouze aproximací skutečné charakteristiky, největší chyba nastává v bodě $\omega_0$ (3 dB).

Fázová frekvenční charakteristika

Chrakteristiky integračního článku

Fázová frekvenční charakteristika integračního článku je $\varphi ( \omega)= \mbox{arctg} \frac{ \mbox{Im} \{ F(j \omega) \} } { \mbox{Re} \{F(j \omega) \}} = - \mbox{arctg} (\omega K_i)$.
Speciálně pro RC článek $\varphi ( \omega)= - arctg ( \omega RC)$ a pro RL článek $\varphi ( \omega)= - arctg \left( \omega \frac {L} {R} \right)$.
Z grafu funkce arkus tangens vyplývá že fázová charakteristika bude vycházet přibližně z počátku souřadných os (osa x je logaritmická, čili začíná jedničkou a proto přesně vzato nemůže fázová charakteristika vycházet z počátku), při úhlové frekvenci $\omega = \omega_0 = 1/K_i$ je argument funkce 1 a fázový posuv tedy $- \pi /4$. S dalším nárůstem frekvence se bude fázová charkteristika blížit $- \pi /2$.
Obecně lze řící že každému zlomu logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky o -20 dB/dek (resp + 20 dB/dek) odpovídá posun fáze o -90° (resp +90°), je-li monotónní (konstatně roste nebo klesá) je fázová frekvenční charakteristika konstantní.
Obrázek naznačuje charakteristiky integračního článku (pasivní dolní propusti) s $K_i=0,01$. Červeně je naznačená logaritmická amplitudová frekvenční charkteristika, modře její skutečný průběh a zeleně fázová charakteristika.

Konstrukce

Integrační článek obsahuje nejméně jednu frekvenčně závislou součástku (kondenzátor, cívka). Nejjednodušším zapojením je pasivní zapojení využívající jeden kondenzátor či cívku. Aktivní elektronický integrátor obsahuje operační zesilovač s kondenzátorem ve zpětnovazební smyčce. Integrátor lze také koncipovat jako digitální součástku, např. složením převodníku napětí–frekvence s čítačem impulsů.

Reference

• Vladimír Haasz, Miloš Sedláček: Elektrická měření: Přístroje a metody. Nakladatelství ČVUT, Praha 1998. ISBN 80-01-01717-6
• Kotlan Jiří: Syntéza elektrických obvodů I. Západočeská univerzita, Plzeň 1995. ISBN 80-7082-211-2
• Pinker Jiří, Koucký Václav: Analogové elektronické systémy 2. Západočeská univerzita, Plzeň 2004. ISBN 80-7043-284-5

Související články

• Derivační článek