Integrační článek

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Zapojení pasivního integrátoru

Integrační článek (integrátor) je elektrotechnická součástka, která v obvodu provádí matematickou funkci integrovánínapětí na výstupu je integrálem napětí na vstupu podle času. Ideální integrační článek tak realizuje funkci

u_2(t) = K_{\rm i} \int\limits_0^t {u_1(t) dt},

kde K_{\rm i} je konstanta integrátoru.

Funkce[editovat | editovat zdroj]

Odezva integračního článku na obdélníkové pulzy.

Integrační článek má frekvenční charakteristiku dolnopropustného filtru – se zvyšující se frekvencí vstupního napětí výstupní napětí klesá. U ideálního integrátoru odpovídá desetinásobnému zvýšení frekvence desetinásobný pokles amplitudy, sklon jeho logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky tedy je −20 dB/dek.

Přenos integračního článku je F(j \omega)= \frac {U_2}{U_1} = \frac{1}{1+j \omega K_{\rm i}}.

Integrační konstanta pasivního integrátoru s rezistorem a kondenzátorem je Ki  = RC, s rezistorem a cívkou Ki  = L/R.

Na integrátoru dochází k fázovému posunutí mezi vstupním a výstupním signálem, které je opět závislé na frekvenci signálu: s rostoucí frekvencí se posuv zvyšuje, asymptoticky dosahuje pro vysoké frekvence -90°.

Frekvence, při kterém dochází k poklesu napětí −3 dB (AU = 0,707), se označuje jako frekvence zlomu. Fázový posuv je při něm roven -45°.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika[editovat | editovat zdroj]

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) integračního článku s rezistorem a kondenzátorem je:
|F(j \omega)|_{dB}= 20 \log |F(j \omega)| = 20 \log 1 - 20 \log \sqrt{1+ \omega^2R^2C^2}

První člen LAFCH je roven nule, u druhého členu lze diskutovat tři případy:
1) je-li \omega RC << 1, pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomového úhlové frekvence \omega_0 roven nule
2) je-li \omega RC = 1, je \omega = \omega_0 = 1/RC = 1/K_i kde \omega_0 je úhlová frekvence zlomu
3) je-li \omega RC >> 1, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem ve zlomové úhlové frekvenci \omega_0 která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) integračního článku s rezistorem a cívkou je: |F(j \omega)|_{dB}= 20 \log |F(j \omega)| = 20 \log 1 - 20 \log \sqrt{1+ \omega^2 \frac {L^2} {R^2}}

První člen LAFCH je roven nule, u druhého členu lze diskutovat tři případy:
1) je-li \omega L/R << 1, pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomové úhlové frekvence \omega_0 roven nule
2) je-li \omega L/R = 1, je \omega = \omega_0 = R/L = 1/K_i kde \omega_0 je úhlová frekvence zlomu
3) je-li \omega L/R >> 1, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem ve úhlové zlomové frekvenci \omega_0 která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika integračního článku (pasivní dolní propusti 1. řádu)

LAFCH je pouze aproximací skutečné charakteristiky, největší chyba nastává v bodě \omega_0 (3 dB).

Fázová frekvenční charakteristika[editovat | editovat zdroj]

Charakteristiky integračního článku

Fázová frekvenční charakteristika integračního článku je  \varphi ( \omega)=  \mbox{arctg} \frac{ \mbox{Im} \{ F(j \omega) \} } { \mbox{Re} \{F(j \omega) \}} = - \mbox{arctg} (\omega K_i).
Speciálně pro RC článek  \varphi ( \omega)= - arctg ( \omega RC) a pro RL článek  \varphi ( \omega)= - arctg \left( \omega \frac {L} {R} \right).
Z grafu funkce arkus tangens vyplývá že fázová charakteristika bude vycházet přibližně z počátku souřadných os (osa x je logaritmická, čili začíná jedničkou a proto přesně vzato nemůže fázová charakteristika vycházet z počátku), při úhlové frekvenci  \omega = \omega_0 = 1/K_i je argument funkce 1 a fázový posuv tedy  - \pi /4 . S dalším nárůstem frekvence se bude fázová charakteristika blížit  - \pi /2 .
Obecně lze říci že každému zlomu logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky o -20 dB/dek (resp + 20 dB/dek) odpovídá posun fáze o -90° (resp +90°), je-li monotónní (konstantně roste nebo klesá) je fázová frekvenční charakteristika konstantní.
Obrázek naznačuje charakteristiky integračního článku (pasivní dolní propusti) s K_i=0,01. Červeně je naznačená logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika, modře její skutečný průběh a zeleně fázová charakteristika.

Konstrukce[editovat | editovat zdroj]

Integrační článek obsahuje nejméně jednu frekvenčně závislou součástku (kondenzátor, cívka). Nejjednodušším zapojením je pasivní zapojení využívající jeden kondenzátor či cívku. Aktivní elektronický integrátor obsahuje operační zesilovač s kondenzátorem ve zpětnovazební smyčce. Integrátor lze také koncipovat jako digitální součástku, např. složením převodníku napětí–frekvence s čítačem impulsů.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • Vladimír Haasz, Miloš Sedláček: Elektrická měření: Přístroje a metody. Nakladatelství ČVUT, Praha 1998. ISBN 80-01-01717-6
  • Kotlan Jiří: Syntéza elektrických obvodů I. Západočeská univerzita, Plzeň 1995. ISBN 80-7082-211-2
  • Pinker Jiří, Koucký Václav: Analogové elektronické systémy 2. Západočeská univerzita, Plzeň 2004. ISBN 80-7043-284-5

Související články[editovat | editovat zdroj]