Derivační článek

Derivační článek (derivátor) je elektronický obvod, který v obvodu provádí matematickou operaci derivování – napětí na výstupu je derivací napětí na vstupu podle času. Ideální derivační článek tak realizuje funkci:

u_{2}(t)={\frac {1}{K_{\rm {d}}}}{\frac {d}{dt}}u_{1}(t)

,

kde $K_{\rm {d}}$ je konstanta derivátoru.

Funkce

Derivační článek má frekvenční charakteristiku hornopropustného filtru – se zvyšující se frekvencí vstupního napětí výstupní napětí roste. U ideálního derivátoru odpovídá desetinásobnému zvýšení frekvence desetinásobný vzrůst amplitudy, sklon jeho logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky tedy je +20 dB/dek.

Přenos derivačního článku je $F(j\omega )={\frac {U_{2}}{U_{1}}}={\frac {j\omega K_{\rm {d}}}{1+j\omega K_{\rm {d}}}}$ .

Derivační konstanta pasivního derivačního článku s rezistorem a kondenzátorem je K_d = RC, s rezistorem a cívkou K_d = L/R.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) derivačního článku s rezistorem a kondenzátorem je:

|A(j\omega )|_{dB}=20\log |F(j\omega )|=20\log \omega RC-20\log {\sqrt {1+\omega ^{2}R^{2}C^{2}}}

První člen LAFCH tvoří přímku stoupající se strmostí 20 dB/dek, která protíná osu X v bodě $\omega _{0}=1/RC$ (na obrázku vyznačena černě), u druhého členu lze diskutovat tři případy:

Je-li $\omega RC<<1$ , pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomové úhlové frekvence $\omega _{0}$ roven nule.
Je-li $\omega RC=1$ , je $\omega =\omega _{0}=1/RC=1/K_{i}$ kde $\omega _{0}$ je úhlová frekvence zlomu.
Je-li $\omega RC>>1$ , můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem ve zlomové úhlové frekvenci $\omega _{0}$ která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Součtem obou průběhů dostáváme výslednou charakteristiku, ta až do bodu $\omega _{0}$ stoupá se strmostí +20 dB/dek k ose X, a od tohoto bodu sleduje osu X (na obrázku vyznačeno modře).

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) derivačního článku s rezistorem a cívkou je:

|F(j\omega )|_{dB}=20\log |F(j\omega )|=20\log \omega {\frac {L}{R}}-20\log {\sqrt {1+\omega ^{2}{\frac {L^{2}}{R^{2}}}}}

První člen LAFCH tvoří přímku stoupající se strmostí 20 dB/dek, která protíná osu X v bodě $\omega _{0}=R/L$ (na obrázku vyznačena černě), u druhého členu lze diskutovat tři případy:

Je-li $\omega L/R<<1$ , pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomové úhlové frekvence $\omega _{0}$ roven nule.
Je-li $\omega L/R=1$ , je $\omega =\omega _{0}=R/L=1/K_{i}$ kde $\omega _{0}$ je úhlová frekvence zlomu.
Je-li $\omega L/R>>1$ , můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem v úhlové zlomové frekvenci $\omega _{0}$ která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Součtem obou průběhů dostáváme výslednou charakteristiku, ta až do bodu $\omega _{0}$ stoupá se strmostí +20 dB/dek k ose X, a od tohoto budu sleduje osu X (na obrázku vyznačeno modře).

LAFCH je pouze aproximací skutečné charakteristiky, největší chyba nastává v bodě $\omega _{0}$ (3 dB).

Konstrukce

Derivační článek obsahuje nejméně jednu frekvenčně závislou součástku (kondenzátor, cívka). Nejjednodušším zapojením je pasivní zapojení využívající jeden kondenzátor či cívku. Aktivní elektronický derivátor obsahuje operační zesilovač s rezistorem a kondenzátorem. Derivátor lze také koncipovat jako digitální součástku, např. složením převodníku napětí-frekvence s čítačem impulsů.

Reference

Kotlan Jiří: Syntéza elektrických obvodů I. Západočeská univerzita, Plzeň 1995. ISBN 80-7082-211-2
Pinker Jiří, Koucký Václav: Analogové elektronické systémy 2. Západočeská univerzita, Plzeň 2004. ISBN 80-7043-284-5

Související články

Integrační článek