Eulerova konstanta

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Možná hledáte: Eulerovo číslo.

Eulerova konstanta nebo též Eulerova–Mascheroniho konstanta je matematická konstanta používaná v teorii čísel a v analýze. O této konstantě není známo, zda je racionální či iracionální.

Eulerova konstanta je přibližně rovna: 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 … .

Definice

Nejsnadneji lze tuto konstantu definovat jako následující limitu:

$\gamma = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots + \frac{1}{n}-\ln n \right)$

Je obecně známo, že harmonická řada vyskytující se v limitě je řadou divergentní, má tedy nekonečný součet. To že výše uvedená limita je vlastní označuje skutečnost, že pro velká $n$ můžeme součet harmonické řady aproximovat přirozeným logaritmem, jenž je v nekonečnu taktéž nekonečný.

Geometrická představa

Obsah modré plochy se rovná Eulerově konstantě

Hodnotu konstanty $\gamma$ si můžeme představit i geometricky. Zobrazíme-li grafy funkci

$f(x)=\frac{1}{\lfloor x \rfloor},$

$g(x)=\frac{1}{x},$

kde $\lfloor x \rfloor$ značí (dolní) celou část čísla $x$, pak obsah plochy mezi těmito dvěma grafy pro x od 1 do nekonečna je právě roven Eulerově konstantě $\gamma$:

$\gamma= \int_1^\infty \left( \frac{1}{\lfloor x \rfloor} - \frac{1}{x}\right) dx.$

Externí odkazy

• (anglicky)  Eulerova konstanta v encyklopedii MathWorld