Elektrická kapacita

Elektrická kapacita je množství elektrického náboje ve vodiči s jednotkovým elektrickým potenciálem.

Elektrická kapacita vyjadřuje schopnost vodiče uchovat elektrický náboj. Čím větší kapacita, tím větší množství náboje může být na vodiči.

Přestože je elektrická kapacita obecně vlastností každého vodiče, využívá se především v kondenzátoru, pro nějž je kapacita definována jako množství náboje na deskách kondenzátoru, je-li mezi deskami jednotkové elektrické napětí (1 V).

Značení

• Značka veličiny: C
• Hlavní jednotka v soustavě SI: farad, značka F
• Další jednotky: Z praktického hlediska je farad příliš velká jednotka, takže se běžně používají dílčí jednotky, především

milifarad, 1 mF = 10⁻³ F

mikrofarad, 1 μF = 10⁻⁶ F

nanofarad, 1 nF = 10⁻⁹ F

pikofarad, 1 pF = 10⁻¹² F

V elektronice se kapacita kondenzátorů někdy udává v pikofaradech, proto je možné se setkat s hodnotami např. 3k3 = 3300 pF = 3,3 nF nebo 10M = 10 μF.

Výpočet

Izolované vodivé těleso s nábojem $Q$ vytváří ve svém okolí potenciál $\varphi$. Pokud dojde ke změně náboje tělesa na $Q^{\prime }=kQ$, kde $k$ je konstanta, změní se také potenciál na $\varphi ^{\prime }=k\varphi$. Bude tedy platit

${\frac {Q^{\prime }}{\varphi ^{\prime }(\mathbf {r} )}}={\frac {Q}{\varphi (\mathbf {r} )}}={\mbox{konst}}$

Poměr velikosti náboje tělesa a hodnoty potenciálu v určitém bodě tedy závisí pouze na geometrickém uspořádání tělesa a daného bodu. Je-li $\varphi _{0}$ hodnota potenciálu na povrchu tělesa s nábojem $Q$, pak platí

$C={\frac {Q}{\varphi _{0}}}$,

kde $C$ se nazývá elektrická kapacita.

Vlastnosti

Elektrická kapacita je závislá na tvaru a velikosti tělesa a na prostředí, v němž se nachází. Kapacita osamoceného vodivého tělesa vyjadřuje schopnost tohoto tělesa shromažďovat elektrický náboj. Těleso s menší kapacitou bude daným nábojem přivedeno na vyšší potenciál než těleso s větší kapacitou.

Potenciálové, kapacitní a influenční koeficienty

Uvažujme dvě vodivá tělesa, z nichž jedno je nabité s nábojem $Q_{1}\neq 0$ a druhé je nenabité, tzn. $Q_{2}=0$. Pokud by první těleso bylo v prostoru samo, potom by platilo $Q_{1}=C_{01}\varphi _{01}^{(0)}$, kde $C_{01}$ je jeho kapacita a $\varphi _{01}^{(0)}$ je jeho potenciál. Pokud nyní druhé, původně nenabité těleso, umístíme v dosahu působení elektrických sil prvního tělesa, pak se na druhém tělese objeví indukovaný náboj, který se rozdělí po jeho povrchu. To má ovšem zpětně vliv na rozdělení náboje $Q_{1}$ na povrchu prvního tělesa tak, aby byl zachován konstantní potenciál obou těles. Dojde tak ke změně potenciálů obou těles na $\varphi _{01}^{(1)}$ a $\varphi _{02}^{(1)}$.

Jestliže na prvním tělese dojde ke změně náboje $Q_{1}$ na hodnotu $Q_{1}^{\prime }=kQ_{1}$, získáme na tělesech potenciály $k\varphi _{01}^{(1)}$ a $k\varphi _{02}^{(1)}$. Vzhledem k tomu, že danému rozložení náboje odpovídá určitý potenciál, musí existovat určité konstanty, které charakterizují vztah mezi potenciály a nábojem $Q_{1}$, přičemž tyto konstanty jsou závislé pouze na geometrickém uspořádání těles. Lze tedy psát

$\varphi _{01}^{(1)}=B_{11}Q_{1}$,

$\varphi _{02}^{(1)}=B_{21}Q_{1}$,

kde $B_{11},B_{21}$ jsou konstanty.

Použijeme-li stejnou úvahu pro případ $Q_{1}=0$ a $Q_{2}\neq 0$, dostaneme obdobné konstanty, které popisují vztah mezi nábojem $Q_{2}$ a potenciály $\varphi _{01}^{(2)}$ a $\varphi _{02}^{(2)}$, tedy

$\varphi _{01}^{(2)}=B_{12}Q_{2}$

$\varphi _{02}^{(2)}=B_{22}Q_{2}$

Superpozicí předchozích případů dostaneme zobecnění pro $Q_{1}\neq 0$ a $Q_{2}\neq 0$, tzn.

$\varphi _{01}=\varphi _{01}^{(1)}+\varphi _{01}^{(2)}=B_{11}Q_{1}+B_{12}Q_{2}$

$\varphi _{02}=\varphi _{02}^{(1)}+\varphi _{02}^{(2)}=B_{21}Q_{1}+B_{22}Q_{2}$

Pro $n$ těles, kde $i$-té těleso má náboj $Q_{i}$ lze postupným opakováním předchozího postupu získat

$\varphi _{0i}=\sum _{k=1}^{n}B_{ik}Q_{k}$,

kde $\varphi _{0i}$ označuje potenciál $i$-tého tělesa. Koeficienty $B_{ik}$ se označují jako potenciálové koeficienty. Tyto koeficienty jsou určeny rozměry, tvarem a vzájemnými polohami všech vodivých těles.

Lze dokázat, že potenciálové koeficienty splňují vztahy

$B_{ij}=B_{ji}$

tedy matice koeficientů $B_{ik}$ je symetrická.

Zápis $\varphi _{0i}=\sum _{k=1}^{n}B_{ik}Q_{k}$ představuje soustavu $n$ lineárních rovnic o $n$ neznámých $Q_{i}$. Tato soustava má právě jedno řešení, pokud je determinant $B_{ij}$ nenulový. Řešení této soustavy je pak možné zapsat jako

$Q_{i}=\sum _{k=1}^{n}C_{ik}\varphi _{0k}$

Diagonální prvky matice $C_{ik}$, tzn. $C_{ii}$, se označují jako kapacitní koeficienty, a nediagonální prvky matice $C_{ik}$, tzn. prvky $C_{ik}$ pro $i\neq k$, se nazývají influenčními koeficienty.

Také matice $C_{ik}$ je symetrická.

Kapacita a koeficienty

Kapacitní koeficient $C_{ii}$ $i$-tého vodivého tělesa je odlišný od kapacity $C$ stejného tělesa, které je osamocené. Kapacita $C$ je vždy větší než nula, neboť na osamoceném vodivém tělese vyvolá kladný náboj kladný potenciál a záporný náboj záporný potenciál. Vliv dalších vodivých těles má za následek pokles potenciálu na $i$-tém vodiči, což způsobí, že $C_{ii}>C$. Nemůže přitom dojít ke změně znaménka potenciálu. Pokud se vliv okolních vodičů bude snižovat, budou se hodnoty $C_{ii}$ a $C$ k sobě blížit.

Ze skutečnosti, že kladně nabité vodivé těleso indukuje na bližší straně druhého vodivého tělesa záporný náboj lze odvodit, že pro influenční koeficienty vždy platí $C_{ik}<0$ pro $i\neq k$. Pokud se snižuje vliv $i$-tého vodiče na $k$-tý, blíží se influenční koeficient $C_{ik}$ k nule.

Influenční koeficient mezi dvěma vodiči, z nichž jeden zcela obklopuje druhý, bude roven kapacitě vnitřního vodiče s opačným znaménkem. Toto uspořádání je významné pro konstrukci kondenzátorů.

Odkazy

Související články

• Elektrický náboj
• Elektrický potenciál
• Kondenzátor
• Měřič kapacity

Autoritní data	PSH: 3349 GND: 4163236-9