Elektrická kapacita

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Elektrická kapacita je množství elektrického náboje ve vodiči s jednotkovým elektrickým potenciálem.

Elektrická kapacita vyjadřuje schopnost vodiče uchovat elektrický náboj. Čím větší kapacita, tím větší množství náboje může být na vodiči.

Přestože je elektrická kapacita obecně vlastností každého vodiče, využívá se především v kondenzátoru, pro nějž je kapacita definována jako množství náboje na deskách kondenzátoru, je-li mezi deskami jednotkové elektrické napětí (1 V).

Značení[editovat | editovat zdroj]

milifarad, 1 mF = 10-3 F
mikrofarad, 1 μF = 10-6 F
nanofarad, 1 nF = 10-9 F
pikofarad, 1 pF = 10-12 F

Výpočet[editovat | editovat zdroj]

Izolované vodivé těleso s nábojem Q vytváří ve svém okolí potenciál \varphi. Pokud dojde ke změně náboje tělesa na Q^\prime=kQ, kde k je konstanta, změní se také potenciál na \varphi^\prime=k\varphi. Bude tedy platit

\frac{Q^\prime}{\varphi^\prime(\mathbf{r})}=\frac{Q}{\varphi(\mathbf{r})} = \mbox{konst}

Poměr velikosti náboje tělesa a hodnoty potenciálu v určitém bodě tedy závisí pouze na geometrickém uspořádání tělesa a daného bodu. Je-li \varphi_0 hodnota potenciálu na povrchu tělesa s nábojem Q, pak platí

C = \frac{Q}{\varphi_0},

kde C se nazývá elektrická kapacita.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Elektrická kapacita je závislá na tvaru a velikosti tělesa a na prostředí, v němž se nachází. Kapacita osamoceného vodivého tělesa vyjadřuje schopnost tohoto tělesa shromažďovat elektrický náboj. Těleso s menší kapacitou bude daným nábojem přivedeno na vyšší potenciál než těleso s větší kapacitou.

Potenciálové, kapacitní a influenční koeficienty[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme dvě vodivá tělesa, z nichž jedno je nabité s nábojem Q_1\ne 0 a druhé je nenabité, tzn. Q_2=0. Pokud by první těleso bylo v prostoru samo, potom by platilo Q_1=C_{01}\varphi_{01}^{(0)}, kde C_{01} je jeho kapacita a \varphi_{01}^{(0)} je jeho potenciál. Pokud nyní druhé, původně nenabité těleso, umístíme v dosahu působení elektrických sil prvního tělesa, pak se na druhém tělese objeví indukovaný náboj, který se rozdělí po jeho povrchu. To má ovšem zpětně vliv na rozdělení náboje Q_1 na povrchu prvního tělesa tak, aby byl zachován konstantní potenciál obou těles. Dojde tak ke změně potenciálů obou těles na \varphi_{01}^{(1)} a \varphi_{02}^{(1)}.


Jestliže na prvním tělese dojde ke změně náboje Q_1 na hodnotu Q_1^\prime = kQ_1, získáme na tělesech potenciály k\varphi_{01}^{(1)} a k\varphi_{02}^{(1)}. Vzhledem k tomu, že danému rozložení náboje odpovídá určitý potenciál, musí existovat určité konstanty, které charakterizují vztah mezi potenciály a nábojem Q_1, přičemž tyto konstanty jsou závislé pouze na geometrickém uspořádání těles. Lze tedy psát

\varphi_{01}^{(1)} = B_{11}Q_1,
\varphi_{02}^{(1)} = B_{21}Q_1,

kde B_{11},B_{21} jsou konstanty.


Použijeme-li stejnou úvahu pro případ Q_1=0 a Q_2\ne 0, dostaneme obdobné konstanty, které popisují vztah mezi nábojem Q_2 a potenciály \varphi_{01}^{(2)} a \varphi_{02}^{(2)}, tedy

\varphi_{01}^{(2)} = B_{12}Q_2
\varphi_{02}^{(2)} = B_{22}Q_2


Superpozicí předchozích případů dostaneme zobecnění pro Q_1\ne 0 a Q_2\ne 0, tzn.

\varphi_{01} = \varphi_{01}^{(1)} + \varphi_{01}^{(2)} = B_{11}Q_1 + B_{12}Q_2
\varphi_{02} = \varphi_{02}^{(1)} + \varphi_{02}^{(2)} = B_{21}Q_1 + B_{22}Q_2


Pro n těles, kde i-té těleso má náboj Q_i lze postupným opakováním předchozího postupu získat

\varphi_{0i} = \sum_{k=1}^n B_{ik}Q_k,

kde \varphi_{0i} označuje potenciál i-tého tělesa. Koeficienty B_{ik} se označují jako potenciálové koeficienty. Tyto koeficienty jsou určeny rozměry, tvarem a vzájemnými polohami všech vodivých těles.


Lze dokázat, že potenciálové koeficienty splňují vztahy

B_{ij} = B_{ji}

tedy matice koeficientů B_{ik} je symetrická.


Zápis \varphi_{0i} = \sum_{k=1}^n B_{ik}Q_k představuje soustavu n lineárních rovnic o n neznámých Q_i. Tato soustava má právě jedno řešení, pokud je determinant B_{ij} nenulový. Řešení této soustavy je pak možné zapsat jako

Q_i = \sum_{k=1}^n C_{ik}\varphi_{0k}

Diagonální prvky matice C_{ik}, tzn. C_{ii}, se označují jako kapacitní koeficienty, a nediagonální prvky matice C_{ik}, tzn. prvky C_{ik} pro i\ne k, se nazývají influenčními koeficienty.

Také matice C_{ik} je symetrická.

Kapacita a koeficienty[editovat | editovat zdroj]

Kapacitní koeficient C_{ii} i-tého vodivého tělesa je odlišný od kapacity C stejného tělesa, které je osamocené. Kapacita C je vždy větší než nula, neboť na osamoceném vodivém tělese vyvolá kladný náboj kladný potenciál a záporný náboj záporný potenciál. Vliv dalších vodivých těles má za následek pokles potenciálu na i-tém vodiči, což způsobí, že C_{ii}>C. Nemůže přitom dojít ke změně znaménka potenciálu. Pokud se vliv okolních vodičů bude snižovat, budou se hodnoty C_{ii} a C k sobě blížit.

Ze skutečnosti, že kladně nabité vodivé těleso indukuje na bližší straně druhého vodivého tělesa záporný náboj lze odvodit, že pro influenční koeficienty vždy platí C_{ik}<0 pro i\ne k. Pokud se snižuje vliv i-tého vodiče na k-tý, blíží se influenční koeficient C_{ik} k nule.

Influenční koeficient mezi dvěma vodiči, z nichž jeden zcela obklopuje druhý, bude roven kapacitě vnitřního vodiče s opačným znaménkem. Toto uspořádání je významné pro konstrukci kondenzátorů.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. NEČÁSEK, Sláva. Radiotechnika do kapsy. Praha 1 : SNTL, 1981. Kapitola Základní elektrotechnické vztahy, s. 33.  

Související články[editovat | editovat zdroj]