Pravděpodobnostní funkce: Porovnání verzí
Přesměrování na Rozdělení pravděpodobnosti |
Vytvoření stránky překladem z angličtiny |
||
| Řádek 1: | Řádek 1: | ||
[[Soubor:Discrete probability distrib.svg|right|thumb|Ukázka grafu pravděpodobnostní funkce. Všechny hodnoty této funkce musí být nezáporné a jejich součet je 1.]] |
|||
#REDIRECT [[Rozdělení pravděpodobnosti]] |
|||
'''Pravděpodobnostní funkce''' ({{Vjazyce|en}} {{Cizojazyčně|en|''probability mass function'', ''pmf''}}) je funkce v [[teorie pravděpodobnosti|teorii pravděpodobnosti]] a [[statistika|statistice]], která udává pravděpodobnost, že [[Rozdělení pravděpodobnosti#Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny|diskrétní]] [[náhodná veličina]] se přesně rovná nějaké hodnotě<ref>{{citace monografie |autor=Stewart, William J.|titul = Probability, Markov Chains, Queues and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling|vydavatel = Princeton University Press|rok=2011|isbn=978-1-4008-3281-1|strana=105|url=http://books.google.com/books?id=ZfRyBS1WbAQC&pg=PT105}}</ref>. Pravděpodobnostní funkce je často základní prostředek pro definování [[Rozdělení pravděpodobnosti#Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny|diskrétního pravděpodobnostního rozdělení]], a taková funkce existuje jak pro [[skalár|skalární]] tak pro [[vícerozměrná náhodná veličina|vícerozměrnou náhodnou veličinu]], jejíž [[definiční obor]] je diskrétní. |
|||
Pravděpodobnostní funkce se liší od [[hustota pravděpodobnosti|hustoty pravděpodobnosti]] ({{vjazyce2|en|''probability density function'', ''pdf''}}) tím, že se týká diskrétní místo spojité náhodné veličiny jako je tomu u hustoty pravděpodobnosti; hodnoty hustoty pravděpodobnosti nejsou pravděpodobnosti jako takové: hustotu pravděpodobnosti je nutné [[integrál|zintegrovat]], abychom získali pravděpodobnost<ref>[http://mathworld.wolfram.com/ProbabilityFunction.html Pravděpodobnostní funkce] v Mathworld </ref>. |
|||
== Formální definice == |
|||
[[Soubor:Fair dice probability distribution.svg|right|thumb|Pravděpodobnostní funkce [[kostka|poctivé kostky]]. U všech čísel na kostce je stejná pravděpodobnost, že se při hodu objeví na horní stěně.]] |
|||
Předpokládejme, že ''X'': Ω → ''A'' (<math>\subseteq \mathbb{R}</math>) je [[Rozdělení pravděpodobnosti#Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny|diskrétní náhodná veličina]] definovaná na [[prostor elementárních jevů|prostoru elementárních jevů]] Ω. Pak pravděpodobnostní funkce ''f''<sub>''X''</sub>: ''A'' → <0, 1> pro ''X'' je definovaná jako<ref>{{citace monografie |autor=Kumar, Dinesh|titul = Reliability & Six Sigma|vydavatel = Birkhäuser|rok=2006|isbn=978-0-387-30255-3|strana=22|url=http://books.google.com/books?id=XsX20uCFJbYC&pg=PA22}}</ref><ref>{{citace monografie |autor=Rao, S.S.|titul = Engineering optimalization: theory and practice|vydavatel = John Wiley & Sons|rok=1996|isbn=978-0-471-55034-1|strana=717|url=http://books.google.com/books?id=nuoryE4IwMoC&pg=PA717}}</ref> |
|||
:<math>f_X(x) = \Pr(X = x) = \Pr(\{\omega \in \Omega: X(\omega) = x\}).</math> |
|||
Abychom se vyhnuli chybám, můžeme uvažovat o pravděpodobnosti jako o hmotě, protože fyzická hmota je zachována stejně jako celková pravděpodobnost pro všechny hypotetické výsledky ''x'': |
|||
:<math>\sum_{x\in A} f_X(x) = 1</math> |
|||
Když existuje přirozené pořadí mezi hypotézami ''x'', může být pohodlné jim přiřadit numerické hodnoty (nebo ''n''-ticím v případě diskrétní [[vícerozměrná náhodná veličina|vícerozměrné náhodné veličiny]]) a uvažovat také hodnoty, které nejsou v [[Obraz funkce|obrazu]] množiny ''X''. To znamená, že funkce ''f''<sub>''X''</sub> může být definovaná pro všechna [[reálné číslo|reálná čísla]] a ''f''<sub>''X''</sub>(''x'') = 0 pro všechna ''x'' <math>\notin</math> ''X''(Ω), jak je znázorněno na obrázku. |
|||
Protože obraz ''X'' je [[spočetná množina|spočetný]], pravděpodobnostní funkce ''f''<sub>''X''</sub>(''x'') je nulová pro všechny hodnoty s výjimkou spočetného počtu hodnot ''x''. Nespojitost pravděpodobnostní funkce plyne z faktu, že [[distribuční funkce]] diskrétní náhodné veličiny je také nespojitá. Pokud je derivovatelná, její derivace je nula, stejně jako pravděpodobnostní funkce je nulová ve všech takových bodech. |
|||
== Příklady == |
|||
Předpokládejme, že Ω je prostor elementárních jevů všech výsledků jediného hodu poctivou mincí a ''X'' je náhodná veličina definovaná na Ω přiřazením 0 „orlu“ a 1 „hlavě“. Protože mince je poctivá, pravděpodobnostní funkce je |
|||
:<math>f_X(x) = \begin{cases}\frac{1}{2}, &x \in \{0, 1\},\\0, &x \notin \{0, 1\}.\end{cases}</math> |
|||
Toto je speciální případ [[binomické rozdělení|binomického rozdělení]]. |
|||
Příkladem vícerozměrného diskrétního rozdělení a jeho pravděpodobnostní funkce je [[multinomické rozdělení]]. |
|||
== Reference == |
|||
{{Překlad|en|Probability mass function|590361946}} |
|||
<references/> |
|||
== Literatura == |
|||
*Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993) Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (p 36) |
|||
[[Kategorie:Pravděpodobnost]] |
|||
Verze z 15. 1. 2014, 01:41
Pravděpodobnostní funkce (anglicky probability mass function, pmf) je funkce v teorii pravděpodobnosti a statistice, která udává pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina se přesně rovná nějaké hodnotě[1]. Pravděpodobnostní funkce je často základní prostředek pro definování diskrétního pravděpodobnostního rozdělení, a taková funkce existuje jak pro skalární tak pro vícerozměrnou náhodnou veličinu, jejíž definiční obor je diskrétní.
Pravděpodobnostní funkce se liší od hustoty pravděpodobnosti (anglicky probability density function, pdf) tím, že se týká diskrétní místo spojité náhodné veličiny jako je tomu u hustoty pravděpodobnosti; hodnoty hustoty pravděpodobnosti nejsou pravděpodobnosti jako takové: hustotu pravděpodobnosti je nutné zintegrovat, abychom získali pravděpodobnost[2].
Formální definice
Předpokládejme, že X: Ω → A () je diskrétní náhodná veličina definovaná na prostoru elementárních jevů Ω. Pak pravděpodobnostní funkce fX: A → <0, 1> pro X je definovaná jako[3][4]
Abychom se vyhnuli chybám, můžeme uvažovat o pravděpodobnosti jako o hmotě, protože fyzická hmota je zachována stejně jako celková pravděpodobnost pro všechny hypotetické výsledky x:
Když existuje přirozené pořadí mezi hypotézami x, může být pohodlné jim přiřadit numerické hodnoty (nebo n-ticím v případě diskrétní vícerozměrné náhodné veličiny) a uvažovat také hodnoty, které nejsou v obrazu množiny X. To znamená, že funkce fX může být definovaná pro všechna reálná čísla a fX(x) = 0 pro všechna x X(Ω), jak je znázorněno na obrázku.
Protože obraz X je spočetný, pravděpodobnostní funkce fX(x) je nulová pro všechny hodnoty s výjimkou spočetného počtu hodnot x. Nespojitost pravděpodobnostní funkce plyne z faktu, že distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny je také nespojitá. Pokud je derivovatelná, její derivace je nula, stejně jako pravděpodobnostní funkce je nulová ve všech takových bodech.
Příklady
Předpokládejme, že Ω je prostor elementárních jevů všech výsledků jediného hodu poctivou mincí a X je náhodná veličina definovaná na Ω přiřazením 0 „orlu“ a 1 „hlavě“. Protože mince je poctivá, pravděpodobnostní funkce je
Toto je speciální případ binomického rozdělení.
Příkladem vícerozměrného diskrétního rozdělení a jeho pravděpodobnostní funkce je multinomické rozdělení.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Probability mass function na anglické Wikipedii.
- ↑ Stewart, William J. Probability, Markov Chains, Queues and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling. [s.l.]: Princeton University Press, 2011. Dostupné online. ISBN 978-1-4008-3281-1.
- ↑ Pravděpodobnostní funkce v Mathworld
- ↑ Kumar, Dinesh. Reliability & Six Sigma. [s.l.]: Birkhäuser, 2006. Dostupné online. ISBN 978-0-387-30255-3.
- ↑ Rao, S.S. Engineering optimalization: theory and practice. [s.l.]: John Wiley & Sons, 1996. Dostupné online. ISBN 978-0-471-55034-1.
Literatura
- Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993) Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (p 36)