Wikipedista:Werkov/SIR model

Model SIR je jedním z nejjednodušších přihrádkových modelů a mnoho modelů je odvozeno od této základní varianty. Tento model se skládá ze tří přihrádek: S představující náchylné (z anglického susceptible), aktuálně infekční I (infectious) a zotavené R (recovered). Tento model je přiměřeně prediktivní pro infekční choroby, které jsou přenášeny z člověka na člověka a kde zotavení získavají trvalou imunitu, např. spalničky, příušnice a zarděnky.

Tyto proměnné (S, I a R) představují počet lidí v každém přihrádce v určitém čase. Pro reprezentaci toho, že počet náchylných, infikovaných a zotavených jedinců se může proměňovat v průběhu času (i když celková velikost populace zůstává konstantní), uděláme z čísel funkci času t: S(t), I(t) a R(t). Pro konkrétní onemocnění v konkrétní populaci lze použít tyto funkce, aby se předpověděla možná ohniska a aby byla pod kontrolou.

Dynamika v modelu SIR

Jak vyplývá z funkce času t, model je dynamický v tom, že čísla v každé přihrádce se mohou časem měnit. Význam tohoto dynamického aspektu je nejzřetelnější u endemického onemocnění s krátkým infekčním obdobím, příkladem jsou spalničky ve Velké Británii před zavedením očkování v roce 1968. Taková onemocnění mají tendenci se vyskytovat v cyklech v důsledku kolísání počtu náchylných (S(t)) v průběhu času. Během epidemie počet náchylných jedinců rychle klesá, jak jsou infikování a přechází do infekční a regenerované přihrádky. Nemoc nemůže znovu vypuknout, dokud se počet náchylných jedinců neobnoví, např. v důsledku porodnosti.

Modrá = náchylné, zelená = infikované a červená = zotavené

Každý člen populace obvykle přechází od náchylné přes infekční do zotavené přihrádky. To lze znázornit jako vývojový diagram, ve kterém rámečky představují různé přihrádky a šipky přechody mezi nimi tj.

Rychlosti přechodů

Pro úplnou specifikaci modelu by měly být šipky označeny rychlostmi přechodů mezi přihrádkami. Mezi S a I je rychlost přechodu βI, kde β zahrnuje průměrný počet kontaktů na osobu za čas, vynásobený pravděpodobností přenosu nemoci při kontaktu mezi infekčním a náchylným jedincem.

Mezi I a R je rychlost přechodu γI (γ představuje podíl infikovaných jedinců, kteří se zotaví za jednotku času). Pokud je doba trvání infekce označena D, pak γ = 1/D, protože jedinec zažije jedno zotavení v D jednotkách času.

Bio-matematické deterministické zpracování modelu SIR

Model SIR bez vitální (populační) dynamiky

Průběh epidemie, například chřipky, je často mnohem rychlejší než období mezi narozením a smrtí, proto se v jednoduchých přihrádkových modelech často vynechává narození a smrt. Model SIR bez tzv. vitální dynamiky popsané výše může být vyjádřen následující sadou obyčejných diferenciálních rovnic :

{\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\end{aligned}}

kde $S$ je velikost náchylné populace, $I$ je počet infikovaných, $R$ je počet zotavených a $N$ je celkový součet těchto tří proměnných.

Tento model poprvé navrhli O. Kermack a Anderson Gray McKendrick jako zvláštní případ toho, co nyní nazýváme Kermack–McKendrick teorií, a vyházeli z práce, kterou McKendrick provedl s Ronaldem Rossem.

Tato soustava je nelineární, avšak je možné odvodit její analytické řešení.

Nejprve si všimněme, že protože

{\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0,

tak máme

S(t)+I(t)+R(t)={\text{konst}}=N,

neboli vyjádření stálosti populace $N$ . Také si všimneme, že z výše uvedených vztahů vyplývá, že stačí řešit soustavu jen dvě ze tří proměnných.

Za druhé si všimneme, že dynamika infekční třídy závisí na následujícím poměru: [[Kategorie:Vědecké modelování]] [[Kategorie:Epidemiologie]]