Přeskočit na obsah

Varignonova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Obsah Varignonova rovnoběžníku EFGH = polovině obsahu čtyřúhelníku ABCD

Varignonova věta je v euklidovské geometrii věta, která se zabývá konstrukcí konkrétního rovnoběžníku, varignonského rovnoběžníku, z libovolného čtyřúhelníku (čtyřúhelníku). Věta je pojmenována po Pierru Varignonovi, který ji publikoval v roce 1731.

Středy stran libovolného čtyřúhelníku tvoří rovnoběžník. Je-li čtyřúhelník konvexní nebo konkávní (ne komplexní), pak plocha rovnoběžníku je polovinou plochy čtyřúhelníku.

konvexní čtyřúhelník konkávní čtyřúhelník překřížený čtyřúhelník

Varignonův rovnoběžník

[editovat | editovat zdroj]

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Rovinný Varignonův rovnoběžník má také následující vlastnosti:

  • Každá dvojice protilehlých stran Varignonova rovnoběžníku je rovnoběžná s úhlopříčkou v původním čtyřúhelníku.
  • Strana Varignonova rovnoběžníku je poloviční, pokud je úhlopříčka v původním čtyřúhelníku rovnoběžná.
  • Obsah Varignonova rovnoběžníku se rovná polovině obsahu původního čtyřúhelníku. Toto platí pro konvexní, konkávní a překřížené čtyřúhelníky za předpokladu, že tato oblast je definována jako rozdíl obsahů dvou trojúhelníků, ze kterých se skládá. [1]
  • Obvod Varignonova rovnoběžníku se rovná součtu úhlopříček původního čtyřúhelníku.
  • Úhlopříčky Varignonova rovnoběžníku jsou střední příčky původního čtyřúhelníku.

Délka střední příčky, která v konvexním čtyřúhelníku se stranami a, b, c a d spojuje středy stran a a c, je

,

kde p a q jsou délky úhlopříček.[2] Délka střední příčky, která spojuje středy stran b a d, je

[3] :s.p.126

.

Délka bimediánů (středních příček) může být také vyjádřena dvěma protilehlými stranami a vzdáleností x mezi středy úhlopříček. To je možné při použití Eulerova čtyřúhelníkového teorému ve výše uvedených vzorcích; odkud

a

V konvexním čtyřúhelníku je následující spojení mezi středními příčkami a úhlopříčkami:

  • Dvě střední příčky mají stejnou délku, pokud a jen tehdy, jsou-li dvě úhlopříčky kolmé.
  • Dvě střední příčky jsou kolmé, pokud a pouze pokud mají dvě úhlopříčky stejnou délku.

Speciální případy

[editovat | editovat zdroj]

Varignonův rovnoběžník je kosočtverec jestliže dvě úhlopříčky čtyřúhelníku mají stejnou délku, tj. čtyřúhelník je equidiagonální.

Varignonův rovnoběžník je obdélník jestliže úhlopříčky čtyřúhelníku jsou kolmé, tj. čtyřúhelník je orthodiagonální.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Varignon's theorem na anglické Wikipedii.

  1. Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Quadrangle; Varignon's theorem" §3.1 in Geometry Revisited.
  2. Mateescu Constantin, Answer to Inequality Of Diagonal. www.artofproblemsolving.com [online]. [cit. 2019-07-13]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2014-10-24. 
  3. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.

Externí odkazy

[editovat | editovat zdroj]