Tenzorový součin dvou vektorových prostorů
a
nad stejným číselným tělesem
je v matematice vektorový prostor
disponující takovým bilineárním zobrazením
z kartézského součinu
a
na
které je „nejuniverzálnější“ ze všech možných bilineárních zobrazení z
v tom smyslu, že každé jiné bilineární zobrazení jednoznačně lineárně faktorizuje nad
. To znamená, že ke každému bilineárnímu zobrazení
na vektorový prostor
nad tělesem
existuje jednoznačně definované lineární zobrazení
tak, že
, čili že pro libovolný pár vektorů
platí
Pokud takový vektorový prostor
existuje, je až na izomorfismus jednoznačný, tj. pro každý jiný
s univerzálním bilineárním zobrazením
existuje izomorfismus
tak, že
Prostor
se značí
a příslušné bilineární zobrazení se píše
. Definici tenzorového součinu lze indukcí zobecnit na více vektorových prostorů:
atd.
Ve fyzice se pro vektorový prostor
s duálním prostorem
(často
) prvky tenzorového součinu
![{\displaystyle \underbrace {V\otimes \dotsb \otimes V} _{r{\text{ faktorů}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dotsb \otimes V^{*}} _{s{\text{ faktorů}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2011a306b44e7ffbc88a6cdd2a0452a5511967)
označují jako tenzory kontravariantní stupně
a kovariantní stupně
. Mluví se pak o tenzorech typu
.
Má-li prostor
dimenzi
a
dimenzi
, pak
má dimenzi
. Bázi
lze zkonstruovat jako množinu všech uspořádaných dvojic
, kde
jsou bázové vektory
a
bázové vektory
Tenzorový součin obecně není komutativní, jakožto bilineární zobrazení je však distributivní a asociativní. Pro všechny
a libovolné
tedy platí:
|
![{\displaystyle (v'+v'')\otimes w=v'\otimes w+v''\otimes w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a118f32c46a69a50580694c07322179ae7d4c9c) |
(1)
|
|
![{\displaystyle v\otimes (w'+w'')=v\otimes w'+v\otimes w''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91da3637a677b5d0aa6efb36d59ea33c4d2e0068) |
(2)
|
|
![{\displaystyle (\lambda v)\otimes w=\lambda \cdot (v\otimes w)=v\otimes (\lambda w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24bfe37d24da0eeef79f4404fa779b6e8c6897f3) |
(3)
|