Tabulka pravdivostních hodnot základních složených výroků

Pravdivostní tabulka je tabulka sestávající z dvou hodnot: 0 (nepravda) a 1 (pravda).

Zde můžete najít pravdivostní tabulky pro základní logické operace.

Unární operace

Existují 4 unární operace

Logická nepravda

Logická nepravda je unární logická operace, jejíž hodnota je nepravda právě tehdy, když vstupní hodnota je pravda nebo nepravda.

Pravdivostní tabulka logické nepravdy:

A	F
1	0
0	0

Logická identita

Logická identita je unární logická operace, jejíž hodnota je pravda právě tehdy, když vstupní hodnota je pravda (analogicky platí pro hodnotu nepravda).

Pravdivostní tabulka logické identity:

A	a
1	1
0	0

Logická negace

Logická negace (používá se symbol  ¬ nebo NON) je unární logická operace, jejíž hodnota je nepravda právě tehdy, když první vstupní hodnota je pravda a naopak.

Pravdivostní tabulka logické negace:

A	¬A
1	0
0	1

Logická pravda

Logická pravda je unární logická operace, jejíž hodnota je pravda, právě tehdy, když vstupní hodnota je pravda nebo nepravda.

Pravdivostní tabulka logické pravdy:

A	T
1	1
0	1

Binární operace

Existuje 16 možných pravdivostních funkcí pro dvě binární proměnné.

Pravdivostní tabulka pro všechny binární logické operátory

Zde se nachází tabulka poskytující definice všech 16 možných pravdivostních operaci (A a B jsou booleovské proměnné, detaily o operátorech viz klíč):

A	B	F	NOR	Xb	¬A	↛	¬B	XOR	NAND	AND	XNOR	b	A⇒B	a	B⇒A	OR	T
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
0	0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
Kom		✓	✓					✓	✓	✓	✓					✓	✓
L id				0				0		1	1	1,0	1			0
P id						0		0		1	1			1,0	1	0
číslo sloupce		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

kde 1=pravda a 0=nepravda. Řádek označený Kom udává jestli je operátor (op) komutativní – A op B = B op A. Řádek označený L id udává levé identity operátoru, jestliže nějaké má – hodnoty I kde I op B=B. Řádek označení P id udává pravé identity operátoru, jestliže nějaké má – hodnoty I kde A op I=A.

Klíč

Klíč je orientovaný po sloupcích. Jsou zde 2 sloupce, které udávají 4 možné kombinace A a B.

A	B
1	1
1	0
0	1
0	0

16 zbylých sloupců obsahuje každý jednu pravdivostní operaci dvou binárních proměnných, v následující tabulce bude každý z těchto sloupců uvedený do řádku:

číslo sloupce			operátor	název operace
0	(0 0 0 0)(a,b)	⊥	false, Oab	Kontradikce
1	(0 0 0 1)(a,b)	NOR	a ↓ b, Xab	Negovaný logický součet NOR
2	(0 0 1 0)(a,b)	$\nleftarrow$	a$\nleftarrow$ b,Mab	Zpětná inhibice
3	(0 0 1 1)(a,b)	¬a, ~a	¬a, Na, Fab	Logická negace
4	(0 1 0 0)(a,b)	$\nrightarrow$	a $\nrightarrow$ b, Lab	Přímá inhibice
5	(0 1 0 1)(a,b)	¬b, ~b	¬b, Nb, Gab	Logická negace
6	(0 1 1 0)(a,b)	XOR	a ⊕ b, Jab	Exklusivní disjunkce
7	(0 1 1 1)(a,b)	NAND	a ↑ b, Dab	Negovaný logický součin NAND
8	(1 0 0 0)(a,b)	AND	a ∧ b, Kab	Konjunkce
9	(1 0 0 1)(a,b)	XNOR	a právě tehdy když b, Eab	Ekvivalence
10	(1 0 1 0)(a,b)	b	b, Hab	Logická identita
11	(1 0 1 1)(a,b)	a⇒ b	jestliže a potom b, Cab	Implikace
12	(1 1 0 0)(a,b)	a	a, Iab	Logická identita
13	(1 1 0 1)(a,b)	b ⇒ a	a jesliže b, Bab	Zpětná implikace
14	(1 1 1 0)(a,b)	OR	a ∨ b, Aab	Disjunkce
15	(1 1 1 1)(a,b)	⊤	pravda, Vab	Logická pravda

Logické operátory je také možné vyjádřit pomocí Vennových diagramů.

Konjunkce

Konjunkce (používají se symboly AND, & nebo ʌ) je binární logická operace jejíž hodnota je pravda, právě když obě vstupní hodnoty jsou pravda.

A	B	AʌB
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Čteme "A a B".

Disjunkce

Disjunkce (používají se symboly OR nebo  ∨) je binární logická operace, jejíž hodnota je pravda, právě když alespoň jedna vstupní hodnota je pravda.

A	B	A∨B
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Čteme "A nebo B".

Implikace

Implikace (používá se symbol ⇒) je binární logická operace, jejíž hodnota je nepravda, právě když první vstupní hodnota je pravda a druhá nepravda. Ve vztahu A⇒B (A implikuje B) označujeme A za předpoklad (premisu) a B za závěr.

A	B	A⇒B
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Čteme "když A, tak B", "jestliže A, pak B", přesněji "A implikuje B".

Ekvivalence

Ekvivalence (používá se symbol ⇔) je binární logická operace, jejíž hodnota je pravda, právě když obě vstupní hodnoty jsou stejné, tj. obě pravda nebo obě nepravda.

A	B	A⇔B
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Exkluzivní disjunkce

Exkluzivní disjunkce (nonekvivalence, používá se symbol ⊕ nebo XOR) je binární logická operace, jejíž hodnota je pravda, právě když vstupní hodnoty jsou různé, tj. pravda a nepravda nebo nepravda a pravda.

A	B	A⊕B
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Logické NAND

Logické NAND (Shefferova funkce) je binární logická operace, jejíž hodnota je nepravda právě tehdy, když jsou obě vstupní hodnoty pravda. Je to univerzální spojka, pomocí ní lze vytvořit všechny ostatní funkce, čehož se využívá v elektronice.

A	B	A ↑ B
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	1

Můžeme snadno nahlédnout, že NAND je vlastně složení dvou operací – NOT a AND. Negaci konjunkce ¬(A ∧ B) a disjunkci negací (¬A) ∨ (¬B) lze zapsat do pravdivostní tabulky takto:

A	B	A ∧ B	¬(A ∧ B)	¬A	¬B	(¬A) ∨ (¬B)
1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	1	0	1	1
0	1	0	1	1	0	1
0	0	0	1	1	1	1

Logické NOR

Logické NOR (Pierceova funkce) je binární logická operace, jejíž hodnota je pravda právě tehdy, když jsou obě vstupní hodnoty nepravda. Tedy hodnota logického NOR je nepravda právě tehdy,když alespoň jedna ze vstupních hodnot je pravda. Je to druhá univerzální spojka, pomocí ní lze vytvořit všechny ostatní funkce.

A	B	A ↓ B
1	1	0
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Negace disjunkce ¬(A ∨ B) a konjunkce negací (¬A) ∧ (¬B) lze zapsat do pravdivostní tabulky takto:

A	B	A ∨ B	¬(A ∨ B)	¬A	¬B	(¬A) ∧ (¬B)
1	1	1	0	0	0	0
1	0	1	0	0	1	0
0	1	1	0	1	0	0
0	0	0	1	1	1	1

Pravdivostní tabulka nejčastěji používaných logických operátorů

Zde je pravdivostní tabulka 6 z 16 možných pravdivostních operací 2 binárních proměnných.

A	B	$A\land B$	$A\lor B$	$A{\underline {\lor }}B$	$A{\underline {\land }}B$	$A\Rightarrow B$	$A\Leftarrow B$	$A\Leftrightarrow B$
1	1	1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	1	1	0	0	1	0
0	1	0	1	1	0	1	0	0
0	0	0	0	0	1	1	1	1

Klíč

1=pravda, 0 = nepravda

$\land$ = AND (konjunkce)

$\lor$ = OR (disjunkce)

${\underline {\lor }}$ = XOR (exkluzivní disjunkce)

${\underline {\land }}$ = XNOR (ekvivalence)

$\rightarrow$ = implikace

$\leftarrow$ = zpětná implikace

$\iff$ ekvivalentní k ${\underline {\land }}$

${\underline {\lor }}$ ekvivalentní k ⊕

Reference

Portály: Matematika