Substituční metoda je metoda používaná při počítání s integrály. Při této metodě zavádíme do integrálu novou proměnnou.
Pokud lze funkci
vyjádřit na intervalu
ve tvaru
, kde
je spojitá v intervalu
a
je spojitá pro všechna
, pak pro
platí
,
kde byla použita substituce
.
Jiným případem je substituce
, kde funkce
je monotónní pro všechna
z intervalu
a má na tomto intervalu spojitou derivaci
. Potom platí
![{\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=\int f(\phi (z))\phi ^{\prime }(z)\mathrm {d} z=H(z)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c8a40d95aaf8c792b5db38b54f0494157813e0)
Výsledek získáme tak, že ze vztahu
vyjádříme proměnnou
a dosadíme do
.
Uvažujme uzavřenou n-rozměrnou oblast
v proměnných
pro
, a uzavřenou n-rozměrnou oblast
v proměnných
. Mezi oblastmi
a
nechť existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
, přičemž existují spojité parciální derivace prvního řádu
pro všechna
a jakobián
je nenulový, tzn.
. Pokud je na oblasti
definována spojitá ohraničená funkce
, pak
![{\displaystyle {\iint \cdots \int }_{M}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\cdots \mathrm {d} x_{n}={\iint \cdots \int }_{N}f(\phi _{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n}),\phi _{2}(y_{1},y_{2},...,y_{n}),...,\phi _{n}(y_{1},y_{2},...,y_{n}))\left|{\frac {D(x_{1},x_{2},...,x_{n})}{D(y_{1},y_{2},...,y_{n})}}\right|\mathrm {d} y_{1}\mathrm {d} y_{2}\cdots \mathrm {d} y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d6f413c442f50ed0e65ca146407e873e16a68eb)
V případě dvojného integrálu, kdy mezi oblastí
o souřadnicích
a oblastí
o souřadnicích
existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
, má jakobián tvar
![{\displaystyle {\frac {D(x,y)}{D(u.v)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b9cd4961cf2c112f8e436ef201ab3ea3aabfd31)
Je-li
, pak dostaneme pro funkci
![{\displaystyle \iint _{M}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint _{N}f(x(u,v),y(u,v))\left|{\frac {D(x,y)}{D(u.v)}}\right|\mathrm {d} u\mathrm {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080afb67ca3f43c2746050bd1055882c785e43de)
V případě trojného integrálu, kdy mezi oblastí
o souřadnicích
a oblastí
o souřadnicích
existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
, má jakobián tvar
![{\displaystyle {\frac {D(x,y,z)}{D(u.v,w)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial x}{\partial w}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial w}}\\{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial w}}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e35bcd9bf8ec5ce4e107b041038796bab791c3)
Je-li
, pak pro funkci
dostaneme výraz
![{\displaystyle \iiint _{M}f(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z=\iiint _{N}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\left|{\frac {D(x,y,z)}{D(u.v,w)}}\right|\mathrm {d} u\mathrm {d} v\mathrm {d} w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0488a42911643194a5d27aeac34f7ad9bbbbe30)