Těleso (algebra): Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 8. 11. 2011, 14:44

Těleso (angl. division ring) je algebraická struktura, na které jsou definovány dvě binární operace. Je rozšířením okruhu, oproti kterému navíc přináší existenci inverzního prvku pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).

Komutativní těleso (angl. field) je takové těleso, že navíc obě operace jsou komutativní. V tělese se předpokládá komutativita pouze sčítání. Zatímco jak v angličtině, tak ve slovenštině mají pro komutativní tělesa vlastní název, v češtině se často komutativní tělesa označují pro jednoduchost jen jako komutativní tělesa, případně jako pole.

Definice tělesa

Trojici $({\mathcal {F}},+,\cdot )$ , kde ${\mathcal {F}}$ je množina a + (sčítání) a $\cdot$ (násobení) jsou binární operace, nazveme tělesem, je-li $({\mathcal {F}},+,\cdot )$ okruh a platí-li navíc

pro každé $x\in {\mathcal {F}}\setminus \{0\}$ existuje $y\in {\mathcal {F}}$ tak , že $x\cdot y=y\cdot x=1$ , což značíme $y=x^{-1}$ .

Alternativní definice tělesa zní následovně: těleso je množina F s aspoň dvěma prvky 0,1 a s následujícími operacemi:

sčítání, přičemž (F,+,-,0) je Abelova grupa (+ je komutativní),
násobení, příčemž $(F\setminus \{0\},\cdot ,^{-1},1)$ je grupa,

a navíc platí distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, tj.

a(b+c)=ab+ac

(b+c)a=ba+ca

V komutativním tělese navíc požadujeme, aby i multiplikativní grupa byla komutativní, tj. $ab=ba$ .

Nadtěleso tělesa ${\mathcal {F}}$ je takové těleso, že ${\mathcal {F}}$ je jeho podmnožinou.

Příklady těles

Množina racionálních čísel $\mathbb {Q}$
Množina reálných čísel $\mathbb {R}$ a její největší algebraické komutativní nadtěleso, množina komplexních čísel $\mathbb {C}$
Kvaterniony, nekomutativní těleso, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel $\mathbb {R}$
Množina zbytkových tříd $\mathbb {Z} _{p}$ pro každé prvočíslo $p$ .
Galoisova tělesa jsou všechna konečná tělesa, mají prvočíselnou charakteristiku p a p^k prvků. Jsou zobecněním těles $\mathbb {Z} _{p}$ .

Související články

Archimédovské těleso (algebra)

Externí odkazy

Šablona:Pahýl - matematika

@@ Řádek 27: / Řádek 27: @@
 * Množina [[Racionální číslo|racionálních čísel]] <math>\mathbb{Q}</math>
 * Množina [[Reálné číslo|reálných čísel]] <math>\mathbb{R}</math> a její největší [[algebraické rozšíření|algebraické]] komutativní nadtěleso, množina [[Komplexní číslo|komplexních čísel]] <math>\mathbb{C}</math>
-* [[Kvaternion]]y, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel <math>\mathbb{R}</math>
+* [[Kvaternion]]y, nekomutativní těleso, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel <math>\mathbb{R}</math>
 * [[Množina zbytkových tříd]] <math>\mathbb{Z}_p</math> pro každé [[prvočíslo]] <math>p</math>.
 * [[Konečné těleso|Galoisova tělesa]] jsou všechna konečná tělesa, mají prvočíselnou [[Charakteristika tělesa|charakteristiku]] ''p'' a ''p<sup>k</sup>'' prvků. Jsou zobecněním těles <math>\mathbb{Z}_p</math>.