Dimenze vektorového prostoru: Porovnání verzí
mBez shrnutí editace |
m spresneni ohledne nekonecnych dimenzi |
||
Řádek 1: | Řádek 1: | ||
'''Dimenzí''' (nebo také '''[[rozměr|rozměrem]]''') [[vektorový prostor|vektorového prostoru]] nazýváme počet prvků libovolné [[báze (algebra)|báze]] tohoto [[prostor]]u. Triviálnímu vektorovému prostoru {0}, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi 0. |
'''Dimenzí''' (nebo také '''[[rozměr|rozměrem]]''') [[vektorový prostor|vektorového prostoru]] nazýváme počet prvků libovolné [[báze (algebra)|báze]] tohoto [[prostor]]u. Triviálnímu vektorovému prostoru {0}, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi 0. |
||
Vektorový prostor <math>V</math> dimenze <math>n</math> zapisujeme jako <math>V_n</math>, popř. píšeme <math>\dim V = n</math>. Prostor <math>V_n</math> nazýváme <math>n</math>-rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako ''konečněrozměrný''. |
Vektorový prostor <math>V</math> dimenze <math>n</math> zapisujeme jako <math>V_n</math>, popř. píšeme <math>\dim V = n</math>. Prostor <math>V_n</math> nazýváme <math>n</math>-rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako ''konečněrozměrný''. Pokud prostor není konečně rozměrný, nazývá se někdy <i>někonečněrozměrný</i>, nebo-li říkáme, že má nekonečnou dimenzi. Za předpokladu [[axiom výběru|axiomu výběru]] má každý vektorový prostor bázi. Pak můžme dimenzi příslušného prostoru definovat jako [[kardinál (matematika)|kardinalitu]] baze. |
||
== Příklady == |
== Příklady == |
||
* Vektorový prostor <math>\mathbb{R}^3</math> má bázi <math>\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}</math> o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že <math>\dim \mathbb{R}^n = n</math> a ještě obecněji <math>\ |
* Vektorový prostor <math>\mathbb{R}^3</math> má bázi <math>\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}</math> o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že <math>\dim \mathbb{R}^n = n</math> a ještě obecněji <math>\dim_F F^n = n</math> (pro libovolné [[těleso (algebra)|těleso]] <math>F</math>, <math>F^n</math> je chápáno jako vektorový prostor nad <math>F</math>). |
||
* [[Komplexní číslo|Komplexní čísla]] jako vektorový prostor nad tělesem [[reálné číslo|reálných čísel]] mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1. |
* [[Komplexní číslo|Komplexní čísla]] jako vektorový prostor nad tělesem [[reálné číslo|reálných čísel]] mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1. |
||
* Vektorový prostor [[polynom]]ů s reálnými koeficienty <math>\mathbb{R}[n]</math> má bázi <math>\{ 1, x, x^2, x^3, \ldots \}</math> o [[nekonečná množina|nekonečně mnoha prvcích]], dimenze tohoto prostoru je proto |
* Vektorový prostor [[polynom]]ů s reálnými koeficienty <math>\mathbb{R}[n]</math> má bázi <math>\{ 1, x, x^2, x^3, \ldots \}</math> o [[nekonečná množina|nekonečně mnoha prvcích]], dimenze tohoto prostoru je proto nekonečná. |
||
== Vlastnosti == |
== Vlastnosti == |
Verze z 23. 10. 2007, 18:38
Dimenzí (nebo také rozměrem) vektorového prostoru nazýváme počet prvků libovolné báze tohoto prostoru. Triviálnímu vektorovému prostoru {0}, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi 0.
Vektorový prostor dimenze zapisujeme jako , popř. píšeme . Prostor nazýváme -rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako konečněrozměrný. Pokud prostor není konečně rozměrný, nazývá se někdy někonečněrozměrný, nebo-li říkáme, že má nekonečnou dimenzi. Za předpokladu axiomu výběru má každý vektorový prostor bázi. Pak můžme dimenzi příslušného prostoru definovat jako kardinalitu baze.
Příklady
- Vektorový prostor má bázi o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že a ještě obecněji (pro libovolné těleso , je chápáno jako vektorový prostor nad ).
- Komplexní čísla jako vektorový prostor nad tělesem reálných čísel mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1.
- Vektorový prostor polynomů s reálnými koeficienty má bázi o nekonečně mnoha prvcích, dimenze tohoto prostoru je proto nekonečná.
Vlastnosti
Je-li podprostorem prostoru , pak platí , přičemž rovnost nastává pouze tehdy, pokud . Libovolné dva konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným tělesem se stejnou dimenzí jsou izomorfní.
Pokud je rozšíření tělesa , je vektorový prostor nad tělesem a libovolný vektorový prostor nad tělesem je také vektorový prostor nad tělesem , přičemž platí
Příkladem je fakt, že libovolný komplexní vektorový prostor dimenze je současně reálným vektorovým prostorem dimenze .
Pokud je vektorový prostor nad tělesem , platí:
- Pokud je konečné, pak ,
- pokud je nekonečné, pak .