Symetrická grupa: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 18. 11. 2018, 15:10

Symetrická grupa je termín z matematiky, z teorie grup. Jedná se o grupu permutací, jejímž nosičem je množina všech permutací množiny, neboli všechny bijekce této množiny na sebe samu a operací je skládání těchto zobrazení. Symetrická grupa n-prvkové množiny se značí $S_{n}$ .

Vlastnosti

Symetrická grupa n-prvkové množiny $S_{n}$ má n! (n faktoriál) prvků.

Podle Cayleyovy věty o reprezentaci je každá grupa G isomorfní podgrupě symetrické grupy na G.

Symetrická grupa $S_{n}$ je nekomutativní pro n>2. Obsahuje normální podgrupu $A_{n}$ všech sudých permutací, která je jednoduchá pro $n\geq 5$ .

Počet konjugačních tříd $S_{n}$ je Par(n), tj. počet možností, jak číslo n napsat jako součet přirozených čísel. Stejný je počet jejích ireducibilních reprezentací. Studium těchto reprezentací má souvislost s reprezentacemi obecné lineární grupy $Gl(n,\mathbb {C} )$ .

Symetrická grupa $S_{n}$ nemá žádné vnější automorfismy s výjimkou $n=6$ . Grupa $S_{6}$ má grupu vnějších automorfizmů $Out(S_{6})\simeq \mathbb {Z} _{2}$ .

Příklad

Symetrická grupa $S_{3}$ je isomorfní grupě symetrie rovnostranného trojúhelníka, kterou tvoří shodnosti zobrazující tento trojúhelník na sebe sama. Je to tedy zároveň dihedrální grupa $D_{3}$ . Má 6 prvků (3 zrcadlení a 3 otočení) a je nekomutativní. Je to nekomutativní grupa s nejmenším možným počtem prvků, neisomorfní šestiprvkové grupy jsou komutativní.

Reference

Bruce Eli Sagan, The symmetric group, Springer, 2001

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

@@ Řádek 9: / Řádek 9: @@
 Symetrická grupa <math>S_n</math> je [[Abelova grupa|nekomutativní]] pro ''n>2''. Obsahuje normální podgrupu <math>A_n</math> všech sudých permutací, která je [[jednoduchá grupa|jednoduchá]] pro <math>n\geq 5</math>.
-Počet konjugačních tříd <math>S_n</math> je ''Par(n)'', tj. počet možností, jak číslo ''n'' napsat jako součet přirozených čísel. Stejný je počet jejích ireducibilních [[reprezentace (grupa)|reprezentací]]. Studium těchto reprezentací má souvislost s reprezentacemi [[lineární grupa|obecné lineární grupy]] <math>Gl(n,\C)</math>.
+Počet konjugačních tříd <math>S_n</math> je ''Par(n)'', tj. počet možností, jak číslo ''n'' napsat jako součet přirozených čísel. Stejný je počet jejích ireducibilních [[reprezentace (grupa)|reprezentací]]. Studium těchto reprezentací má souvislost s reprezentacemi [[lineární grupa|obecné lineární grupy]] <math>Gl(n,\Complex)</math>.
 Symetrická grupa <math>S_n</math> nemá žádné [[vnější automorfismus|vnější automorfismy]] s výjimkou <math>n=6</math>. Grupa <math>S_6</math> má grupu vnějších automorfizmů <math>Out(S_6)\simeq \Z_2</math>.