Totální derivace: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 18. 11. 2018, 15:01

Totální (úplná) derivace je derivace funkce více proměnných, která na rozdíl od parciální derivace zohledňuje závislosti mezi jednotlivými proměnnými. Totální derivace funkce $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ podle proměnné $x_{i}$ se zapisuje stejně jako obyčejná derivace, tzn. ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x_{i}}}$ . Totální derivaci lze vyjádřit pomocí parciálních derivací.

Při určování parciální derivace funkce $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ podle $x_{i}$ považujeme všechny ostatní proměnné za konstanty. Jestliže však existuje nějaká závislost mezi jednotlivými proměnnými, pak ji parciální derivace nezachytí.

Uvažujme např. funkci $f(x,y)=xy$ . Parciální derivace podle x je ${\frac {\partial f}{\partial x}}=y$ . Pokud však proměnné x a y nejsou nezávislé, pak získaná parciální derivace nevyjadřuje závislost funkce f na x dostatečně. Předpokládejme, že závislost mezi x a y lze vyjádřit jako $y=g(x)$ . V takovém případě je $f(x,y)=f(x,g(x))$ a jedná se tedy o parciální derivaci složené funkce, tzn.

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}

Jsou-li obě proměnné x i y závislé na další proměnné t, tzn. $x=x(t),y=y(t)$ , pak totální derivace f podle t je

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}.

Totální derivace se často používá ve fyzice.

Související články

Totální diferenciál

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

@@ Řádek 4: / Řádek 4: @@
 Při určování parciální derivace [[Funkce (matematika)|funkce]] <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> podle <math>x_i</math> považujeme všechny ostatní proměnné za [[konstanta|konstanty]]. Jestliže však existuje nějaká závislost mezi jednotlivými proměnnými, pak ji parciální derivace nezachytí.
-Uvažujme např. funkci <math>f(x,y) = xy</math>. Parciální derivace podle ''x'' je <math>\frac{\part f}{\part x} = y</math>. Pokud však proměnné ''x'' a ''y'' nejsou nezávislé, pak získaná parciální derivace nevyjadřuje závislost funkce ''f'' na ''x'' dostatečně. Předpokládejme, že závislost mezi ''x'' a ''y'' lze vyjádřit jako <math>y = g(x)</math>. V takovém případě je <math>f(x,y) = f(x,g(x))</math> a jedná se tedy o parciální derivaci [[složená funkce|složené funkce]], tzn.
+Uvažujme např. funkci <math>f(x,y) = xy</math>. Parciální derivace podle ''x'' je <math>\frac{\partial f}{\partial x} = y</math>. Pokud však proměnné ''x'' a ''y'' nejsou nezávislé, pak získaná parciální derivace nevyjadřuje závislost funkce ''f'' na ''x'' dostatečně. Předpokládejme, že závislost mezi ''x'' a ''y'' lze vyjádřit jako <math>y = g(x)</math>. V takovém případě je <math>f(x,y) = f(x,g(x))</math> a jedná se tedy o parciální derivaci [[složená funkce|složené funkce]], tzn.
-:<math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \frac{\part f}{\part x} + \frac{\part f}{\part y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math>
+:<math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math>
 Jsou-li obě proměnné ''x'' i ''y'' závislé na další proměnné ''t'', tzn. <math>x = x(t), y = y(t)</math>, pak totální derivace ''f'' podle ''t'' je
-:<math>\frac{{\mathrm{d}f}}{{\mathrm{d}t}}=\frac{\part f}{\part t} + \frac{\part f}{\part x} \frac{{\mathrm{d}x}}{{\mathrm{d}t}} + \frac{\part f}{\part y} \frac{{\mathrm{d}y}}{{\mathrm{d}t}}.</math>
+:<math>\frac{{\mathrm{d}f}}{{\mathrm{d}t}}=\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{{\mathrm{d}x}}{{\mathrm{d}t}} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{{\mathrm{d}y}}{{\mathrm{d}t}}.</math>
 Totální derivace se často používá ve [[fyzika|fyzice]].