Kruhová úseč

Kruhová úseč a výseč

Kruhová úseč. Značení:
M – střed kružnice,
r – poloměr kružnice,
AB – tětiva,
s – délka tětivy,
h – výška úseče,
α – středový úhel,
b – délka oblouku,
A – obsah úseče

Kruhová úseč je část kruhu vymezená tětivou a kruhovým obloukem vzniklá rozdělením kruhu sečnou.

Každá úseč je příslušná středovému úhlu α, který může být konvexní (0° < α < 180°), konkávní (180° < α < 360°), nebo přímý (α = 180°; polokruh).

Obvod úseče

Použité značení:

• r - poloměr kruhu
• α - středový úhel, $\alpha =2\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)$; $\alpha =4\ \mathrm {arctg} {\biggl (}{\frac {h}{(s/2)}}{\biggr )}$; $\alpha =2\ \arcsin {\biggl (}{\frac {4hs}{s^{2}+4h^{2}}}{\biggr )}$; $\alpha =2\,\mathrm {arctg} {\Biggl (}{\frac {(s/2)}{{\bigl (}{\frac {s^{2}}{8h}}-{\frac {h}{2}}{\bigr )}}}{\Biggr )}$; $\alpha =2\,\mathrm {arctg} {\biggl (}{\frac {4sh}{s^{2}-4h^{2}}}{\biggr )}$
• s - délka tětivy, $s=2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)$
• h - výška oblouku, $h=r{\biggl (}1-\cos {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}{\biggr )}$; $h=r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-s^{2}}}$ ; $r^{2}=(s/2)^{2}+(r-h)^{2}$
• $r={\frac {s^{2}}{8h}}+h/2$; $r={\frac {(s/2)^{2}+h^{2}}{2h}}$; $r={\frac {(s/2)}{\mathrm {sin} {\biggl (}2\,\mathrm {arctg} {\Bigl (}{\frac {h}{(s/2)}}{\Bigr )}{\biggr )}}}$; $r={\frac {s}{2\,\mathrm {sin} {\Bigl (}2\,\mathrm {arctg} {\bigl (}{\frac {s}{2h}}{\bigr )}{\Bigr )}}}$
• $s=2h\surd ({\frac {2r}{h}}-1)$; $s=2\surd (2rh-h^{2})$; $s=2\,\tan {\biggl (}{\frac {\alpha }{2}}{\biggr )}\cdot {\biggl (}{\frac {b}{\mathrm {arc} \ \alpha }}-h{\biggr )}$
• $h=r-r\surd (1-(s/2r)^{2})$

• délka oblouku: $b=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r$ (arc=úhel v radiánech)

Obvod kruhové úseče:

• $o=b+s$
• $o=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r+s$ (arc=úhel v radiánech)
• $o=2r\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)+s$
• $o=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r+2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)$ (arc=úhel v radiánech)
• $o=2r\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)\cdot {\frac {\pi }{180}}+2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)$ (pro nastavení kalkulačky na stupně)

V případě, že je úhel α konvexní (0 < α < π), je obsah úseče roven obsahu výseče ($S_{V}={\tfrac {\alpha r^{2}}{2}}$) bez obsahu rovnoramenného trojúhelníka ($S_{T}=r^{2}\sin \!{\tfrac {\alpha }{2}}\cos \!{\tfrac {\alpha }{2}}={\tfrac {r^{2}}{2}}\sin \alpha$; kladné číslo).

$S=S_{V}-S_{T}={\frac {r^{2}}{2}}\left(\alpha -\sin \alpha \right)$

V případě, že je úhel $\alpha$ konkávní (π < α < 2π), je obsah úseče roven obsahu výseče a obsahu rovnoramenného trojúhelníka. Pro konkávní středový úhel ovšem vyjde obsah trojúhelníka ($S_{T}={\tfrac {r^{2}}{2}}\sin \alpha$) záporný, takže pro celkový obsah úseče opět platí předchozí vzorec:

$S={\frac {r^{2}}{2}}\left(\alpha -\sin \alpha \right)$

Známe-li výšku úseče $h$ a poloměr:

$S=r^{2}\arccos \!\left({\frac {r-h}{r}}\right)-(r-h){\sqrt {2hr-h^{2}}}$

V reálné praxi je úseč často určena šířkou $s$ (délka tětivy) a výškou $h$. Pro obsah pak platí

$S={\frac {1}{64h^{2}}}\left(\left(s^{2}+4h^{2}\right)^{2}\arccos {\frac {s^{2}-4h^{2}}{s^{2}+4h^{2}}}-4sh\left(s^{2}-4h^{2}\right)\right)$

Literatura

• Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 30

Související články

• Kruhová výseč
• Kruhový oblouk
• Tětiva (geometrie)
• Kulová úseč

Externí odkazy

• (anglicky) Kalkulátor všech parametrů úseče (z libovodlných dvou hodnot)

Portály: Matematika