Kruhová úseč

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Kruhová úseč a výseč
Kruhová úseč. Značení:
M – střed kružnice,
r – poloměr kružnice,
AB – tětiva,
s – délka tětivy,
h – výška úseče,
α – středový úhel,
b – délka oblouku,
A – obsah úseče

Kruhová úseč je část kruhu vymezená tětivou a kruhovým obloukem vzniklá rozdělením kruhu sečnou.

Každá úseč je příslušná středovému úhlu α, který může být konvexní (0° < α < 180°), konkávní (180° < α < 360°) nebo přímý (α = 180°; polokruh).

Obvod úseče[editovat | editovat zdroj]

Použité značení:

  • r — poloměr kruhu
  • α — středový úhel,  \alpha = 2 \arcsin \! \left(  \frac{l}{2r} \right)
  • l — délka tětivy,  l = 2 r \sin \! \left( \frac{\alpha}{2} \right)

Obvod:

  • délka oblouku a délka tětivy:  o = \alpha r + l (úhel v radiánech)
  • ze znalosti úhlu a poloměru:  o = \alpha r + 2 r \sin \! \left( \frac{\alpha}{2} \right)
  • ze znalosti délky tětivy a poloměru:  o = 2 r \arcsin \! \left( \frac{l}{2r} \right) + l

Obsah úseče[editovat | editovat zdroj]

V případě, že je úhel α konvexní (0 < α < π), je obsah úseče roven obsahu výseče ( S_V = \tfrac{\alpha r^2}{2} ) bez obsahu rovnoramenného trojúhelníka ( S_T = r^2 \sin\!\tfrac{\alpha}{2} \cos\!\tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{r^2}{2} \sin \alpha; kladné číslo).

S = S_V - S_T = \frac{r^2}{2} \left( \alpha - \sin \alpha \right)

V případě, že je úhel \alpha konkávní (π < α < 2π), je obsah úseče roven obsahu výseče a obsahu rovnoramenného trojúhelníka. Pro konkávní středový úhel ovšem vyjde obsah trojúhelníka ( S_T = \tfrac{r^2}{2} \sin \alpha) záporný, takže pro celkový obsah úseče opět platí předchozí vzorec:

S = \frac{r^2}{2} \left( \alpha - \sin \alpha \right)

Známe-li výšku úseče h a poloměr:

 S = r^2 \arccos\!\left(\frac{r-h}{r}\right) - (r-h)\sqrt{2hr-h^2}

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]