Nahoru a dolů usměrněná množina: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 28. 5. 2015, 23:10

Předpokládejme, že množina A je částečně uspořádána relací R a B je podmnožina A.
Řekneme, že B je dolů usměrněná množina, pokud pro každé své dva prvky obsahuje alespoň jeden prvek menší, než oba dva, tj.
$(\forall a,b\in B)(\exists c\in B)(c\leq _{R}a\land c\leq _{R}b)$
Řekneme, že B je nahoru usměrněná množina, pokud pro každé své dva prvky obsahuje alespoň jeden prvek větší, než oba dva, tj.
$(\forall a,b\in B)(\exists c\in B)(a\leq _{R}c\land b\leq _{R}c)$

Jinými slovy: množina je dolů usměrněná, když pro každou svoji dvouprvkovou podmnožinu obsahuje i nějakou její minorantu, množina je nahoru usměrněná, když pro každou svoji dvouprvkovou podmnožinu obsahuje i nějakou její majorantu.

Příklady

Uvažujme jakoukoliv lineárně uspořádanou množinu - například množinu přirozených čísel nebo množinu reálných čísel uspořádané podle velikosti. V takové množině je každá podmnožina nahoru usměrněná i dolů usměrněná - to plyne z faktu, že každé dva prvky v tomto uspořádání jsou porovnatelné, a tedy max{a,b} je zároveň majoranta {a,b} a min{a,b} je zároveň minoranta {a,b}.

Uvažujme množinu $Z^{+}\,\!$ všech celých kladných čísel částečně uspořádanou relací S = { [a,b] : a dělí b }.

Pokud chceme, aby nějaká množina byla nahoru usměrněná, musí pro každá dvě čísla obsahovat i nějaký jejich společný násobek - například {2,3} není nahoru usměrněná, ale {2,3,6} už ano.
Pokud chceme, aby nějaká množina byla dolů usměrněná, musí pro každá dvě čísla obsahovat i nějaký jejich společný dělitel - například {2,3,5} není dolů usměrněná, ale {1,2,3,5} už ano.

Usměrněné množiny se využívají například při definici inverzních limit v teorii kategorií.

Související články

@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
-Předpokládejme, že množina A je [[uspořádání|uspořádána]] [[Binární relace|relací]] R a B je [[podmnožina]] A.<br />
+Předpokládejme, že množina A je částečně [[uspořádání|uspořádána]] [[Binární relace|relací]] R a B je [[podmnožina]] A.<br />
 Řekneme, že B je '''dolů usměrněná množina''', pokud pro každé své dva prvky obsahuje alespoň jeden prvek menší, než oba dva, tj.<br />
 <math>( \forall a, b \isin B)( \exist c \isin B)( c \leq_R a \and c \leq_R b)</math><br />
@@ Řádek 13: / Řádek 13: @@
 * Pokud chceme, aby nějaká množina byla '''nahoru usměrněná''', musí pro každá dvě čísla obsahovat i nějaký jejich společný násobek - například {2,3} není nahoru usměrněná, ale {2,3,6} už ano.
 * Pokud chceme, aby nějaká množina byla '''dolů usměrněná''', musí pro každá dvě čísla obsahovat i nějaký jejich společný dělitel - například {2,3,5} není dolů usměrněná, ale {1,2,3,5} už ano.
+Usměrněné množiny se využívají například při definici inverzních [[Limita (teorie kategorií)|limit]] v [[Teorie kategorií|teorii kategorií]].
 == Související články ==