Lagrangeova věta (teorie grup)

Lagrangeova věta je základní tvrzení z teorie grup, jehož důsledkem je, že řád každého prvku či podgrupy dělí řád grupy. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7. Věta nese jméno význačného matematika, Josepha Louise Lagrange.

Přesné znění

Pro grupu G a její podgrupu H platí:

$|G|=[G:H]\cdot |H|$, kde |X| značí řád grupy X a [G:H] index grupy H v G.

Důkaz

Nejprve ukážeme, že levé cosety $gH=\{gh;\;h\in H\}$ tvoří dohromady pro $\forall g\in G$ rozklad množiny G. Protože $x\cdot e=x\in xH$, nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky G. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak $xH\cap yH\neq \emptyset$ pro nějaké $x,y\in G$. Jinými slovy pro nějaká $h_{1},h_{2}\in H$ musí být $x\cdot h_{1}=y\cdot h_{2}$. Vynásobením na pravé straně prvkem $h_{2}^{-1}$ dostaneme $x\cdot h_{1}\cdot h_{2}^{-1}=y$. Pro jednoduchost provedeme substituci $t=h_{1}\cdot h_{2}^{-1}$. Vzhledem k definici podgrupy $t\in H$, a proto

$yH=\{yh;\;h\in H\}=\{(xt)h;\;h\in H\}=\{x(th);\;h\in H\}$.

$yH\subset xH$, neboť rovněž $(th)\in H$, a tudíž každý prvek v yH je obsažen v xH. Symetrickým postupem bychom získali $xH\subset yH$, a proto $yH=xH$. Z čehož plyne, že cosety gH tvoří rozklad G.

Abychom ukázali, že řád všech cosetů je totožný, najdeme bijektivní zobrazení f z H na xH pro $\forall x\in G$. Definujme f rovnicí

$f(g)=xh$

• Důkaz injektivity: Předpokládejme $f(h_{1})=f(h_{2})$.

$x\cdot h_{1}=x\cdot h_{2}$. Obě strany vynásobíme zleva prvkem $x^{-1}$

$x^{-1}\cdot x\cdot h_{1}=x^{-1}\cdot x\cdot h_{2}$

$h_{1}=h_{2}$

• Surjektivita je zřejmá z definice.

Nechť $[G/H]$ značí celkový počet všech (ať už levých nebo pravých) cosetů. Jak už jsme ukázali, cosety tvoří rozklad množiny G a každý z nich má tentýž řád |H|. Z těchto úvah plyne $|G|=[G/H]\cdot |H|$.

QED.

Důsledek

Řád každého prvku $a\in G$ je dělitel řádu G, neboť a generuje cyklickou podgrupu s týmž řádem, který podle Lagrangeovy věty dělí řád G.

Příbuzná tvrzení

Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak Sylowovy věty na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.

Související články

• Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu – také známa jako Lagrangeova věta
• Sylowovy věty

Portály: Matematika