Lagrangeova věta (teorie grup): Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 1. 5. 2013, 20:24

Lagrangeova věta je základní tvrzení z teorie grup, jehož důsledkem je, že řád každého prvku či podgrupy dělí řád grupy. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7. Věta nese jméno význačného matematika, Josepha Louise Lagrange.

Přesné znění

Pro grupu G a její podgrupu H platí:

|G|=[G:H]\cdot |H|

, kde |X| značí řád grupy X a [G:H] index grupy H v G.

Důkaz

Nejprve ukážeme, že levé cosety $gH=\{gh;\;h\in H\}$ tvoří dohromady pro $\forall g\in G$ rozklad množiny G. Protože $x\cdot e=x\in xH$ , nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky G. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak $xH\cap yH\neq \emptyset$ pro nějaké $x,y\in G$ . Jinými slovy pro nějaká $h_{1},h_{2}\in H$ musí být $x\cdot h_{1}=y\cdot h_{2}$ . Vynásobením na pravé straně prvkem $h_{2}^{-1}$ dostaneme $x\cdot h_{1}\cdot h_{2}^{-1}=y$ . Pro jednoduchost provedeme substituci $t=h_{1}\cdot h_{2}^{-1}$ . Vzhledem k definici podgrupy $t\in H$ , a proto

$yH=\{yh;\;h\in H\}=\{(xt)h;\;h\in H\}=\{x(th);\;h\in H\}$ .

$yH\subset xH$ , neboť rovněž $(th)\in H$ , a tudíž každý prvek v yH je obsažen v xH. Symetrickým postupem bychom získali $xH\subset yH$ , a proto $yH=xH$ . Z čehož plyne, že cosety gH tvoří rozklad G.

Abychom ukázali, že řád všech cosetů je totožný, najdeme bijektivní zobrazení f z H na xH pro $\forall x\in G$ . Definujme f rovnicí

$f(g)=xh$

Důkaz injektivity: Předpokládejme $f(h_{1})=f(h_{2})$ .

$x\cdot h_{1}=x\cdot h_{2}$ . Obě strany vynásobíme zleva prvkem $x^{-1}$

$x^{-1}\cdot x\cdot h_{1}=x^{-1}\cdot x\cdot h_{2}$

$h_{1}=h_{2}$

Surjektivita je zřejmá z definice.

Nechť $[G/H]$ značí celkový počet všech (ať už levých nebo pravých) cosetů. Jak už jsme ukázali, cosety tvoří rozklad množiny G a každý z nich má tentýž řád |H|. Z těchto úvah plyne $|G|=[G/H]\cdot |H|$ .

QED.

Příbuzná tvrzení

Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak Sylowovy věty na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.

Související články

Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu – také známa jako Lagrangeova věta
Sylowovy věty

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

@@ Řádek 7: / Řádek 7: @@
 == Důkaz ==
-Nejprve ukážeme, že levé [[Coset|cosety]] <math>gH=\{gh;\;h\in H\}</math> tvoří dohromady pro <math>\forall g \in G</math> rozklad množiny G. Protože <math>x\cdot e=x\in xH</math>, nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky ''G''. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak <math>xH \cap yH\ne\emptyset</math> pro nějaké <math>x,y\in G</math>. Jinými slovy pro nějaká <math>h_1,h_2\in H</math> musí být <math>x\cdot h_1 = y\cdot h_2</math>. Vynásobením na pravé straně prvkem <math>h_2^{-1}</math> dostaneme
+Nejprve ukážeme, že levé [[Coset|cosety]] <math>gH=\{gh;\;h\in H\}</math> tvoří dohromady pro <math>\forall g \in G</math> [[rozklad množiny]] G. Protože <math>x\cdot e=x\in xH</math>, nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky ''G''. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak <math>xH \cap yH\ne\emptyset</math> pro nějaké <math>x,y\in G</math>. Jinými slovy pro nějaká <math>h_1,h_2\in H</math> musí být <math>x\cdot h_1 = y\cdot h_2</math>. Vynásobením na pravé straně prvkem <math>h_2^{-1}</math> dostaneme
 <math>x\cdot h_1\cdot h_2^{-1}=y</math>. Pro jednoduchost provedeme substituci <math>t=h_1\cdot h_2^{-1}</math>. Vzhledem k definici podgrupy <math>t\in H</math>, a proto