Tenzor: Porovnání verzí
→Definice: čechocentrismus značky: editace z mobilu editace z mobilní aplikace editace z mobilní aplikace pro Android |
Bez shrnutí editace značky: revertováno editace z mobilu editace z mobilního webu |
||
Řádek 1: | Řádek 1: | ||
'''Tenzor''' je v [[matematika|matematice]] objekt, který je zobecněním pojmu [[vektor]]. Zatímco složky vektoru je možné označit jedním indexem, tenzor může mít více indexů, např. <math>T_{ |
'''Tenzor''' je v [[matematika|matematice]] objekt, který je zobecněním pojmu [[vektor]]. Zatímco složky vektoru je možné označit jedním indexem, tenzor může mít více indexů, např. <math>T_{klm}</math>. |
||
Jako tenzor ''T'' se označuje soubor reálných a nebo komplexních čísel <math>T_{{i_1}{i_2} \cdots {i_n}}</math> (počet [[Index (matematika)|indexů]] je ''n''), které se nazývají ''složky (komponenty) tenzoru'' a které se při [[transformace souřadnic|transformaci souřadnic]] <math>x_i^\prime = \sum_j a_{ij} x_j</math> transformují následujícím způsobem: |
Jako tenzor ''T'' se označuje soubor reálných a nebo komplexních čísel <math>T_{{i_1}{i_2} \cdots {i_n}}</math> (počet [[Index (matematika)|indexů]] je ''n''), které se nazývají ''složky (komponenty) tenzoru'' a které se při [[transformace souřadnic|transformaci souřadnic]] <math>x_i^\prime = \sum_j a_{ij} x_j</math> transformují následujícím způsobem: |
||
Řádek 6: | Řádek 6: | ||
Tato transformace tenzorů je [[Lineární zobrazení|multilineární zobrazení]], tedy zobrazení, které je lineární v každé složce. Podobně jako vektor je tenzor, jakožto samostatný objekt vůči reprezentaci v dané soustavě souřadnic invariantní. Jeho složky (tedy konkrétní reprezentace) však, stejně jako u vektoru, závisí na volbě souřadnic. |
Tato transformace tenzorů je [[Lineární zobrazení|multilineární zobrazení]], tedy zobrazení, které je lineární v každé složce. Podobně jako vektor je tenzor, jakožto samostatný objekt vůči reprezentaci v dané soustavě souřadnic invariantní. Jeho složky (tedy konkrétní reprezentace) však, stejně jako u vektoru, závisí na volbě souřadnic. |
||
Pokud ''n'' je počet indexů tenzoru ''T'', nazýváme ''T'' tenzorem ''n''-tého řádu. Rozlišujeme pak dále indexy kovariantní (dolní) a kontravariantní (horní). Má-li tenzor ''n'' kovariantních a ''m'' kontravariantních složek jeho index je ''n+m'' a jedná se o tenzor typu (n,m)''.'' |
Pokud ''n'' je počet indexů tenzoru ''T'', nazýváme ''T'' tenzorem ''n''-tého řádu. Rozlišujeme pak dále indexy kovariantní (dolní) a kontravariantní (horní). Má-li tenzor ''n'' kovariantních a ''m'' kontravariantních složek jeho index je ''n+m'' a jedná se o tenzor typu (n,m)''.'' Např. metrický tenzor <math>g_{\mu\nu}</math> má dvě kovariantní složky, jeho index je tak 2 a typ (0,2). Důvodem pro rozlišování kovariantních a kontravariantních složek je jejich vzájemná odlišnost v transformačních pravidlech. |
||
Část matematiky, která při své práci používá tenzory, se označuje jako [[tenzorový počet]]. Tenzory se uplatňují nejen v matematice, ale i ve [[fyzika|fyzice]]. |
Část matematiky, která při své práci používá tenzory, se označuje jako [[tenzorový počet]]. Tenzory se uplatňují nejen v matematice, ale i ve [[fyzika|fyzice]]. |
Verze z 22. 6. 2024, 12:21
Tenzor je v matematice objekt, který je zobecněním pojmu vektor. Zatímco složky vektoru je možné označit jedním indexem, tenzor může mít více indexů, např. .
Jako tenzor T se označuje soubor reálných a nebo komplexních čísel (počet indexů je n), které se nazývají složky (komponenty) tenzoru a které se při transformaci souřadnic transformují následujícím způsobem:
Tato transformace tenzorů je multilineární zobrazení, tedy zobrazení, které je lineární v každé složce. Podobně jako vektor je tenzor, jakožto samostatný objekt vůči reprezentaci v dané soustavě souřadnic invariantní. Jeho složky (tedy konkrétní reprezentace) však, stejně jako u vektoru, závisí na volbě souřadnic.
Pokud n je počet indexů tenzoru T, nazýváme T tenzorem n-tého řádu. Rozlišujeme pak dále indexy kovariantní (dolní) a kontravariantní (horní). Má-li tenzor n kovariantních a m kontravariantních složek jeho index je n+m a jedná se o tenzor typu (n,m). Např. metrický tenzor má dvě kovariantní složky, jeho index je tak 2 a typ (0,2). Důvodem pro rozlišování kovariantních a kontravariantních složek je jejich vzájemná odlišnost v transformačních pravidlech.
Část matematiky, která při své práci používá tenzory, se označuje jako tenzorový počet. Tenzory se uplatňují nejen v matematice, ale i ve fyzice.
Máme-li např. dva vektory , můžeme z nich vytvořit tenzor druhého řádu, jehož složky budou určeny vztahem . Tenzorový charakter je možné ověřit na základě transformačních pravidel pro vektory, tzn.
Speciálními případy tenzorů jsou tenzory nultého řádu, které se označují jako skaláry, a tenzory prvního řádu, tedy vektory.
Ve fyzice se tenzory druhého řádu obvykle reprezentují jako matice, ale ne všechny matice jsou fyzikálně smysluplnými tenzory.[1]
Definice
Mějme vektorový prostor nad tělesem a k němu jeho duální prostor . Tenzor typu (n,m) je zobrazení
( m-krát n-krát), které je lineární v každém ze svých n+m argumentů.
Je nutné dodat, že pořadí vektorového prostoru po jeho duálu je častější v anglické literatuře a naopak méně časté v české.
Odkazy
Reference
- ↑ Are Square Matrices Always Tensors?: A Counter Example [online]. Andrew Dotson – Youtube, 2018-11-09 [cit. 2021-04-28]. Video. Dostupné online. (anglicky)
Související články
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu tenzor na Wikimedia Commons