Dimenze vektorového prostoru: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 29. 10. 2007, 16:08

Dimenzí (nebo také rozměrem) vektorového prostoru nazýváme počet prvků libovolné báze tohoto prostoru. Triviálnímu vektorovému prostoru {0}, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi 0.

Vektorový prostor $V$ dimenze $n$ zapisujeme jako $V_{n}$ , popř. píšeme $\dim V=n$ . Prostor $V_{n}$ nazýváme $n$ -rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako konečněrozměrný. Pokud prostor není konečně rozměrný, nazývá se někdy nekonečněrozměrný, nebo-li říkáme, že má nekonečnou dimenzi. Za předpokladu axiomu výběru má každý vektorový prostor bázi. Pak můžme dimenzi příslušného prostoru definovat jako kardinalitu báze.

Příklady

Vektorový prostor $\mathbb {R} ^{3}$ má bázi $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že $\dim \mathbb {R} ^{n}=n$ a ještě obecněji $\dim _{F}F^{n}=n$ (pro libovolné těleso $F$ , $F^{n}$ je chápáno jako vektorový prostor nad $F$ ).
Komplexní čísla jako vektorový prostor nad tělesem reálných čísel mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1.
Vektorový prostor polynomů s reálnými koeficienty $\mathbb {R} [n]$ má bázi $\{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}$ o nekonečně mnoha prvcích, dimenze tohoto prostoru je proto nekonečná a označuje se $\aleph _{0}$ (alef 0).

Vlastnosti

Je-li $W$ podprostorem konečněrozměrného prostoru $V$ , pak platí $\dim W\leq \dim V$ , přičemž rovnost nastává pouze tehdy, pokud $W=V$ . Libovolné dva konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným tělesem se stejnou dimenzí jsou izomorfní.

Pokud je $F$ rozšíření tělesa $K$ , je $F$ vektorový prostor nad tělesem $K$ a libovolný vektorový prostor $V$ nad tělesem $F$ je také vektorový prostor nad tělesem $K$ , přičemž platí

\dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\cdot \dim _{F}(V)

Příkladem je fakt, že libovolný komplexní vektorový prostor dimenze $n$ je současně reálným vektorovým prostorem dimenze $2n$ .

Pokud $V$ je vektorový prostor nad tělesem $F$ , platí:

Pokud je $\dim V$ konečné, pak $|V|=|F|\dim V$ ,
pokud je $\dim V$ nekonečné, pak $|V|=\max \left(|F|,\dim V\right)$ .

Související články

@@ Řádek 9: / Řádek 9: @@
 == Vlastnosti ==
-Je-li <math>W</math> [[podprostor]]em prostoru <math>V</math>, pak platí <math>\dim W \leq \dim V</math>, přičemž [[rovnost]] nastává pouze tehdy, pokud <math>W = V</math>. Libovolné dva konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným tělesem se stejnou dimenzí jsou [[izomorfismus|izomorfní]].
+Je-li <math>W</math> [[podprostor]]em konečněrozměrného prostoru <math>V</math>, pak platí <math>\dim W \leq \dim V</math>, přičemž [[rovnost]] nastává pouze tehdy, pokud <math>W = V</math>. Libovolné dva konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným tělesem se stejnou dimenzí jsou [[izomorfismus|izomorfní]].
 Pokud je <math>F</math> [[rozšíření tělesa]] <math>K</math>, je <math>F</math> vektorový prostor nad tělesem <math>K</math> a libovolný vektorový prostor <math>V</math> nad tělesem <math>F</math> je také vektorový prostor nad tělesem <math>K</math>, přičemž platí