Dimenze vektorového prostoru: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 23. 10. 2007, 18:38

Dimenzí (nebo také rozměrem) vektorového prostoru nazýváme počet prvků libovolné báze tohoto prostoru. Triviálnímu vektorovému prostoru {0}, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi 0.

Vektorový prostor $V$ dimenze $n$ zapisujeme jako $V_{n}$ , popř. píšeme $\dim V=n$ . Prostor $V_{n}$ nazýváme $n$ -rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako konečněrozměrný. Pokud prostor není konečně rozměrný, nazývá se někdy někonečněrozměrný, nebo-li říkáme, že má nekonečnou dimenzi. Za předpokladu axiomu výběru má každý vektorový prostor bázi. Pak můžme dimenzi příslušného prostoru definovat jako kardinalitu baze.

Příklady

Vektorový prostor $\mathbb {R} ^{3}$ má bázi $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že $\dim \mathbb {R} ^{n}=n$ a ještě obecněji $\dim _{F}F^{n}=n$ (pro libovolné těleso $F$ , $F^{n}$ je chápáno jako vektorový prostor nad $F$ ).
Komplexní čísla jako vektorový prostor nad tělesem reálných čísel mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1.
Vektorový prostor polynomů s reálnými koeficienty $\mathbb {R} [n]$ má bázi $\{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}$ o nekonečně mnoha prvcích, dimenze tohoto prostoru je proto nekonečná.

Vlastnosti

Je-li $W$ podprostorem prostoru $V$ , pak platí $\dim W\leq \dim V$ , přičemž rovnost nastává pouze tehdy, pokud $W=V$ . Libovolné dva konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným tělesem se stejnou dimenzí jsou izomorfní.

Pokud je $F$ rozšíření tělesa $K$ , je $F$ vektorový prostor nad tělesem $K$ a libovolný vektorový prostor $V$ nad tělesem $F$ je také vektorový prostor nad tělesem $K$ , přičemž platí

\dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\cdot \dim _{F}(V)

Příkladem je fakt, že libovolný komplexní vektorový prostor dimenze $n$ je současně reálným vektorovým prostorem dimenze $2n$ .

Pokud $V$ je vektorový prostor nad tělesem $F$ , platí:

Pokud je $\dim V$ konečné, pak $|V|=|F|\dim V$ ,
pokud je $\dim V$ nekonečné, pak $|V|=\max \left(|F|,\dim V\right)$ .

Související články

@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
 '''Dimenzí''' (nebo také '''[[rozměr|rozměrem]]''') [[vektorový prostor|vektorového prostoru]] nazýváme počet prvků libovolné [[báze (algebra)|báze]] tohoto [[prostor]]u. Triviálnímu vektorovému prostoru {0}, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi 0.
-Vektorový prostor <math>V</math> dimenze <math>n</math> zapisujeme jako <math>V_n</math>, popř. píšeme <math>\dim V = n</math>. Prostor <math>V_n</math> nazýváme <math>n</math>-rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako ''konečněrozměrný''.
+Vektorový prostor <math>V</math> dimenze <math>n</math> zapisujeme jako <math>V_n</math>, popř. píšeme <math>\dim V = n</math>. Prostor <math>V_n</math> nazýváme <math>n</math>-rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako ''konečněrozměrný''. Pokud prostor není konečně rozměrný, nazývá se někdy <i>někonečněrozměrný</i>, nebo-li říkáme, že má nekonečnou dimenzi. Za předpokladu [[axiom výběru|axiomu výběru]] má každý vektorový prostor bázi. Pak můžme dimenzi příslušného prostoru definovat jako [[kardinál (matematika)|kardinalitu]] baze.
 == Příklady ==
-* Vektorový prostor <math>\mathbb{R}^3</math> má bázi <math>\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}</math> o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že <math>\dim \mathbb{R}^n = n</math> a ještě obecněji <math>\dim F^n = n</math> (pro libovolné [[těleso (algebra)|těleso]] <math>F</math>).
+* Vektorový prostor <math>\mathbb{R}^3</math> má bázi <math>\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}</math> o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že <math>\dim \mathbb{R}^n = n</math> a ještě obecněji <math>\dim_F F^n = n</math> (pro libovolné [[těleso (algebra)|těleso]] <math>F</math>, <math>F^n</math> je chápáno jako vektorový prostor nad <math>F</math>).
 * [[Komplexní číslo|Komplexní čísla]] jako vektorový prostor nad tělesem [[reálné číslo|reálných čísel]] mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1.
-* Vektorový prostor [[polynom]]ů s reálnými koeficienty <math>\mathbb{R}[n]</math> má bázi <math>\{ 1, x, x^2, x^3, \ldots \}</math> o [[nekonečná množina|nekonečně mnoha prvcích]], dimenze tohoto prostoru je proto <math>\aleph_0</math> ([[alef 0]]).
+* Vektorový prostor [[polynom]]ů s reálnými koeficienty <math>\mathbb{R}[n]</math> má bázi <math>\{ 1, x, x^2, x^3, \ldots \}</math> o [[nekonečná množina|nekonečně mnoha prvcích]], dimenze tohoto prostoru je proto nekonečná.
 == Vlastnosti ==