Lineární uspořádání: Porovnání verzí
m narovnání přesměrování |
m Robot: náhrada zastaralé matematické syntaxe podle mw:Extension:Math/Roadmap |
||
| Řádek 8: | Řádek 8: | ||
Předpokládejme, že máme relaci <math> R \,\! </math> na [[Množina|množině]] <math> X \,\! </math>, a <math> a,b,c \isin X \,\! </math> jsou nějaké její libovolné prvky. Abychom mohli prohlásit tuto relaci za lineární uspořádání množiny <math> X \,\! </math>, musí být splněny tyto podmínky: |
Předpokládejme, že máme relaci <math> R \,\! </math> na [[Množina|množině]] <math> X \,\! </math>, a <math> a,b,c \isin X \,\! </math> jsou nějaké její libovolné prvky. Abychom mohli prohlásit tuto relaci za lineární uspořádání množiny <math> X \,\! </math>, musí být splněny tyto podmínky: |
||
# [[Tranzitivní relace|tranzitivita]]: <math> aRb \ |
# [[Tranzitivní relace|tranzitivita]]: <math> aRb \land bRc \implies aRc \,\! </math> |
||
# (slabá) [[Antisymetrická relace|antisymetrie]]: <math> aRb \ |
# (slabá) [[Antisymetrická relace|antisymetrie]]: <math> aRb \land bRa \implies a = b \,\! </math> |
||
# [[Trichotomická relace|trichotomie]]: <math> aRb \vee bRa \vee a = b \,\! </math> |
# [[Trichotomická relace|trichotomie]]: <math> aRb \vee bRa \vee a = b \,\! </math> |
||
Verze z 18. 11. 2018, 15:00
Lineární uspořádání (někdy také úplné uspořádání) je pojem z teorie uspořádání, který formálně zachycuje intuitivní představu o prvcích množiny, které jsou seřazeny „jeden za druhým“. To mimo jiné znamená, že každé dva prvky lineárně uspořádané množiny jsou porovnatelné.
Definice
Řekneme, že uspořádání (ať již ostré nebo neostré) je lineární, pokud se (kromě ostatních vlastností požadovaných definicí uspořádání) jedná o trichotomickou relaci.
Rozepišme si podrobněji, co všechno musí být splněno, na příkladu ostrého lineárního uspořádání (pro neostré lineární uspořádání musí být antireflexivita nahrazena reflexivitou):
Předpokládejme, že máme relaci na množině , a jsou nějaké její libovolné prvky. Abychom mohli prohlásit tuto relaci za lineární uspořádání množiny , musí být splněny tyto podmínky:
- tranzitivita:
- (slabá) antisymetrie:
- trichotomie:
Příklady
Relace je lineární uspořádání na množině přirozených čísel i reálných čísel.
Relace „číslo a je násobek čísla b“ není neostré lineární uspořádání celých kladných čísel - sice je tranzitivní a reflexivní, ale není trichotomická (není pravda ani „2 je násobek 3“, ani „3 je násobek 2“, ani „2 = 3“).
Uvažujme o pětiprvkové množině X = {a,b,c,d,e} a relaci R = {[a,c],[a,d],[a,e],[b,c],[b,d],[c,d]}. Tato relace je tranzitivní, antireflexivní i antisymetrická. Není však trichotomická, protože například d a e jsou dva různé neporovnatelné prvky.