Slabá kardinální mocnina

Slabá kardinální mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.

Definice

Jsou-li $\kappa \,\!$ a $\lambda \,\!$ dvě kardinální čísla, pak jejich slabou kardinální mocninu označujeme symbolem $\kappa ^{<\lambda }\,\!$ a definujeme vztahem
$\kappa ^{<\lambda }=\sum _{\mu <\lambda }\kappa ^{\mu }\,\!$ , tj. jako součet všech kardinálních mocnin $\kappa \,\!$ s exponentem menším než $\lambda \,\!$ .

Motivace pro zavedení

Při řešení otázek týkajících se mohutnosti množin se zavádějí dvě speciální podmnožiny potenční množiny:

$[X]^{\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|=\lambda \}\,\!$
$[X]^{<\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|<\lambda \}\,\!$

Řečeno lidsky: množina všech podmnožin množiny $X\,\!$ s mohutností přesně $\lambda \,\!$ a množina všech podmnožin množiny $X\,\!$ s mohutností menší než $\lambda \,\!$

Otázku, jakou má taková množina mohutnost, zodpovídá ve druhém případě právě slabá kardinální mocnina:
Pokud platí $|X|=\kappa \,\!$ a $\lambda \leq \kappa ^{+}\,\!$ (symbol $\kappa ^{+}\,\!$ je nejmenší kardinální číslo větší než $\kappa \,\!$ ), potom
$|[X]^{<\lambda }|=\kappa ^{<\lambda }\,\!$

Příklad použití

V článku Kardinální aritmetika je vidět, jak málo toho lze zjistit o chování kardinální mocniny, pokud k axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin nepřidáme zobecněnou hypotézu kontinua nebo nějaké jí podobné tvrzení.

Alespoň částečnou představu o průběhu kardinálních mocnin dvojky dává pro regulární kardinály funkce gimel, pro singulární kardinály pak funkce gimel v kombinaci se slabou kardinální mocninou:

Je-li $\aleph _{\alpha }\,\!$ singulární kardinál, $\beta <\alpha \,\!$ takové, že pro každé $\beta \leq \gamma <\alpha \,\!$ platí $\aleph _{\gamma }=\aleph _{\beta }$ , potom
$2^{\aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\beta }}=2^{<\aleph _{\alpha }}\,\!$

Je-li $\aleph _{\alpha }\,\!$ singulární kardinál a pro každé $\beta <\alpha \,\!$ existuje $\beta <\gamma <\alpha \,\!$ , pro které platí $\aleph _{\gamma }>\aleph _{\beta }$ , potom
$2^{\aleph _{\alpha }}=\gimel (2^{<\aleph _{\alpha }})\,\!$

Související články