Slabá kardinální mocnina
Slabá kardinální mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.
Definice[editovat | editovat zdroj]
Jsou-li a dvě kardinální čísla, pak jejich slabou kardinální mocninu označujeme symbolem a definujeme vztahem
, tj. jako součet všech kardinálních mocnin s exponentem menším než .
Motivace pro zavedení[editovat | editovat zdroj]
Při řešení otázek týkajících se mohutnosti množin se zavádějí dvě speciální podmnožiny potenční množiny:
![{\displaystyle [X]^{\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|=\lambda \}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7345ad4c2c22ff5e71c7d829b7bf9b0918e514c5)
![{\displaystyle [X]^{<\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|<\lambda \}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40792d6812742f534dbb4eaa82c94c3db4e4bb44)
Řečeno lidsky: množina všech podmnožin množiny s mohutností přesně a množina všech podmnožin množiny s mohutností menší než
Otázku, jakou má taková množina mohutnost, zodpovídá ve druhém případě právě slabá kardinální mocnina:
Pokud platí a (symbol je nejmenší kardinální číslo větší než ), potom
![{\displaystyle |[X]^{<\lambda }|=\kappa ^{<\lambda }\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/204d9909cb71acf1630fa4d23a863b46683fb338)
Příklad použití[editovat | editovat zdroj]
V článku Kardinální aritmetika je vidět, jak málo toho lze zjistit o chování kardinální mocniny, pokud k axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin nepřidáme zobecněnou hypotézu kontinua nebo nějaké jí podobné tvrzení.
Alespoň částečnou představu o průběhu kardinálních mocnin dvojky dává pro regulární kardinály funkce gimel, pro singulární kardinály pak funkce gimel v kombinaci se slabou kardinální mocninou:
Je-li singulární kardinál, takové, že pro každé platí , potom
Je-li singulární kardinál a pro každé existuje , pro které platí , potom
