Potenciálová bariéra

Potenciálová bariéra je ve fyzice takové rozložení potenciálu, že jeho hodnota je v určité (omezené) oblasti nenulová, přičemž se předpokládá, že je (aspoň přibližně) konstantní, konečná a kladná, zatímco mimo tuto oblast je hodnota potenciálu nulová.

V jednorozměrném případě je možné potenciálovou bariéru vyjádřit potenciálem

$V=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ pre }}x<0{\mbox{ a }}x>a\\V_{0}&{\mbox{ pre }}0<x<a\end{matrix}}\right.$$V=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ pre }}x<0{\mbox{ a }}x>a\\V_{0}&{\mbox{ pre }}0<x<a\end{matrix}}\right.$

Potenciálová bariéra umožňuje v kvantové mechanice popsat základní vlastní vlastnosti kvantového tunelování.

Obdobným případem jako potenciálová bariéra je potenciálová jáma, kde je $V_{0}<0$$V_{0}<0$.

Klasická mechanika

V klasické mechanice je pohyb částic povolený pouze v oblasti, kde je energie $E$$E$ částice menší než hodnota potenciálu.

Pokud se tedy částice s $E<V_{0}$$E<V_{0}$ pohybuje směrem k potenciálové bariéře, potom se může pohybovat pouze mimo oblast $0<x<a$$0<x<a$. Do oblasti $0<x<a$$0<x<a$ taková částice nemůže vstoupit. V klasické mechanice se tedy částice nacházející se v oblasti $x<0$$x<0$ nemůže dostat do oblasti $x>a$$x>a$ a naopak. Potenciálová bariéra je pro takové částice nepropustnou stěnou, která odděluje obě oblasti $x<0$$x<0$ a $x>a$$x>a$.

Částice s $E>V_{0}$$E>V_{0}$ sa můžu pohybovat i v oblasti $0<x<a$$0<x<a$ a můžu tedy přes potenciálovou bariéru procházet. Takováto klasická částice pohybující se směrem k potenciálové bariéře přes tuto bariéru vždy projde, tzn. nikdy nedojde k jejímu odrazu. K odrazu částice od bariéry dochází pouze v případě $E<V_{0}$$E<V_{0}$.

Kvantová mechanika

V kvantové mechanice se vlastnosti částice určí řešením odpovídající Schrödingerovy rovnice.

Stacionární Schrödingerovu rovnici vyjádříme zvlášť pro oblast $x<0$$x<0$, oblast $0<x<a$$0<x<a$ a pro oblast $x>a$$x>a$. V bodech $x=0$$x=0$ a $x=a$$x=a$ je přitom požadováno, aby vlnová funkce byla spojitá včetně své první derivace.

Schrödingerovy rovnice tedy mají tvar

${\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{I}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi _{I}=0&{\mbox{ pre }}x<0\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{II}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}\psi _{II}=0&{\mbox{ pre }}0<x<a\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{III}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi _{III}=0&{\mbox{ pre }}x>a\end{matrix}}$${\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{I}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi _{I}=0&{\mbox{ pre }}x<0\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{II}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}\psi _{II}=0&{\mbox{ pre }}0<x<a\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{III}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi _{III}=0&{\mbox{ pre }}x>a\end{matrix}}$

Charakter řešení se liší podle toho, zda celková energie částice $E$$E$ je větší, anebo menší než výška potenciálové bariéry $V_{0}$$V_{0}$. Výslednou vlnovou funkci je možné rozdělit na několik částí. Především na dopadající vlnu, která souvisí s volnou částicí pohybující se směrem k potenciálové bariéře ze záporného nekonečna (tedy v oblasti $x<0$$x<0$). Dále můžeme uvažovat, že vlna se po dopadu částečně odrazí a částečně bude procházet do oblasti $0<x<a$$0<x<a$. V této oblasti postupuje vlna dále k bodu $x=a$$x=a$, kde prochází druhým potenciálovým skokem, od kterého se opět částečně odráží a částečně projde do oblasti $x>a$$x>a$. V oblasti x < 0 tedy bude výsledná vlna $\psi _{I}$$\psi _{I}$ popsaná superpozicí dopadající vlny pohybující se ve směru $+x$$+x$ a odražené vlny pohybující se ve směru $-x$$-x$. Podobně v oblasti $0<x<a$$0<x<a$ je možné výslednou vlnu $\psi _{II}$$\psi _{II}$ popsat jako superpozici vln z obou směrů, zatímco v oblasti $x>a$$x>a$ je možné najít pouze prošlou vlnu $\psi _{III}$$\psi _{III}$ pohybující se ve směru $+x$$+x$.

Případ E>V₀

Když zavedeme konstanty

$k_{I}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}$$k_{I}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}$

$k_{II}^{2}={\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}$$k_{II}^{2}={\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}$

potom je možné obecné řešení vyjádřit ve tvaru

$\psi _{I}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}$$\psi _{I}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}$

$\psi _{II}=C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}x}+D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}x}$$\psi _{II}=C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}x}+D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}x}$

$\psi _{III}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+G\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}$$\psi _{III}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+G\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}$

Vzhledem k tomu, že podle předpokladu se částice pohybuje ze záporného nekonečna, bude koeficient u členu popisujícího v oblasti $x>a$$x>a$ pohyb směrem k bariéře nulový, tzn. $G=0$$G=0$.

Z podmínky spojitosti vlnové funkce a její první derivace v bodech $x=0$$x=0$ a $x=a$$x=a$, tzn. na základě rovností $\psi _{I}(0)=\psi _{II}(0)$$\psi _{I}(0)=\psi _{II}(0)$, $\psi _{I}^{\prime }(0)=\psi _{II}^{\prime }(0)$$\psi _{I}^{\prime }(0)=\psi _{II}^{\prime }(0)$, $\psi _{II}(a)=\psi _{III}(a)$$\psi _{II}(a)=\psi _{III}(a)$ a $\psi _{II}^{\prime }(a)=\psi _{III}^{\prime }(a)$$\psi _{II}^{\prime }(a)=\psi _{III}^{\prime }(a)$, dostaneme podmínky umožňující určit koeficienty $A,B,C,D,F$$A,B,C,D,F$, tzn.

$A+B=C+D$$A+B=C+D$

$\mathrm {i} k_{I}(A-B)=\mathrm {i} k_{II}(C-D)$$\mathrm {i} k_{I}(A-B)=\mathrm {i} k_{II}(C-D)$

$C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}a}+D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}a}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}$$C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}a}+D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}a}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}$

$\mathrm {i} k_{II}\left(C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}a}-D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}a}\right)=\mathrm {i} k_{I}F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}$$\mathrm {i} k_{II}\left(C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}a}-D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}a}\right)=\mathrm {i} k_{I}F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}$

Pravděpodobnost průchodu kvantové částice skrz bariéru je možné pro $E>V_{0}$$E>V_{0}$ vyjádřit vztahem

$T={\left|{\frac {F}{A}}\right|}^{2}={\frac {1}{1+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt {\frac {E}{V_{0}-E}}}+{\sqrt {\frac {V_{0}-E}{E}}}\right)}^{2}\sinh ^{2}{\sqrt {\frac {8m(V_{0}+E)}{\hbar ^{2}}}}a}}$$T={\left|{\frac {F}{A}}\right|}^{2}={\frac {1}{1+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt {\frac {E}{V_{0}-E}}}+{\sqrt {\frac {V_{0}-E}{E}}}\right)}^{2}\sinh ^{2}{\sqrt {\frac {8m(V_{0}+E)}{\hbar ^{2}}}}a}}$

Pravděpodobnost odrazu od bariéry se rovná

$R={\left|{\frac {B}{A}}\right|}^{2}=1-T$$R={\left|{\frac {B}{A}}\right|}^{2}=1-T$

Pro libovolně široký a vysoký potenciálový val je tato pravděpodobnost nenulová. Tato pravděpodobnost však s rostoucí šířkou valu a rostoucím rozdílem energií $V_{-}E$$V_{-}E$ velmi rychle klesá. Z tohoto důvodu je tedy při makroskopických procesech tento jev zanedbatelný a není potřebné ho uvažovat.

Případ E<V₀

Když zavedeme konstanty

$k_{I}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}$$k_{I}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}$

$k_{II}^{2}={\frac {2m(V_{0}-E)}{\hbar ^{2}}}$$k_{II}^{2}={\frac {2m(V_{0}-E)}{\hbar ^{2}}}$

potom je obecné řešení možné vyjádřit ve tvaru

$\psi _{I}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}$$\psi _{I}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}$

$\psi _{II}=C\mathrm {e} ^{-k_{II}x}+D\mathrm {e} ^{k_{II}x}$$\psi _{II}=C\mathrm {e} ^{-k_{II}x}+D\mathrm {e} ^{k_{II}x}$

$\psi _{III}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+G\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}$$\psi _{III}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+G\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}$

Vzhledem k tomu, že podle předpokladu se částice pohybuje ze záporného nekonečna, bude koeficient členu popisujícího v oblasti $x>a$$x>a$ pohyb směrem k bariéře nulový, tzn. $G=0$$G=0$.

Z podmínky spojitosti vlnové funkce a její první derivace v bodech $x=0$$x=0$ a $x=a$$x=a$, tzn. na základě rovnosti $\psi _{I}(0)=\psi _{II}(0)$$\psi _{I}(0)=\psi _{II}(0)$, $\psi _{I}^{\prime }(0)=\psi _{II}^{\prime }(0)$$\psi _{I}^{\prime }(0)=\psi _{II}^{\prime }(0)$, $\psi _{II}(a)=\psi _{III}(a)$$\psi _{II}(a)=\psi _{III}(a)$ a $\psi _{II}^{\prime }(a)=\psi _{III}^{\prime }(a)$$\psi _{II}^{\prime }(a)=\psi _{III}^{\prime }(a)$, dostaneme podmínky umožňující určit koeficienty $A,B,C,D,F$$A,B,C,D,F$, tzn.

$A+B=C+D$$A+B=C+D$

$\mathrm {i} k_{I}(A-B)=-k_{II}(C-D)$$\mathrm {i} k_{I}(A-B)=-k_{II}(C-D)$

$C\mathrm {e} ^{-k_{II}a}+D\mathrm {e} ^{k_{II}a}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}$$C\mathrm {e} ^{-k_{II}a}+D\mathrm {e} ^{k_{II}a}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}$

$-k_{II}\left(C\mathrm {e} ^{-k_{II}a}-D\mathrm {e} ^{k_{II}a}\right)=\mathrm {i} k_{I}F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}$$-k_{II}\left(C\mathrm {e} ^{-k_{II}a}-D\mathrm {e} ^{k_{II}a}\right)=\mathrm {i} k_{I}F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}$

Pravděpodobnost průchodu částice bariérou je možné vyjádřit jako

$T=={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{II}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}$$T=={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{II}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}$

Částice dopadající na potenciálový val se tedy podle kvantové mechaniky nemusí vždy odrazit, ale může bariérou s určitou pravděpodobností projít. Průchod částice bariérou je čistě kvantový jev, se kterým se v klasické mechanice nesetkáme. Tento jev se označuje jako tunelový jev anebo kvantové tunelování.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Potenciálová bariéra na slovenské Wikipedii.