Podgrupa

V matematice se pojmem podgrupa grupy G = (G,*) označuje grupa H = (H, *_H), je-li H podmnožinou G a *_H je podmnožinou operace *.

V následujícím textu se místo zápisu a*b používá zkrácené ab.

Základní vlastnosti podgrup

• Podgrupa je grupa
• H je podgrupa grupy G, právě když je neprázdná a je uzavřená na operaci * (to znamená, že pokud a, b ∈ H, pak ab ∈ H) a na inverzi (tzn. jestliže a ∈ H, pak a⁻¹ ∈ H)
• Neutrální prvek v G se rovná neutrálnímu prvku v H
• Inverzní prvek v G se rovná inverznímu prvku v H

Zvláštní případy podgrup

• Každá grupa obsahuje dvě tzv. nevlastní podgrupy (též triviální podgrupy), sebe samu a podgrupu obsahující pouze neutrální prvek (ta je vlastně zároveň triviální grupou). Ostatní podgrupy označujeme jako vlastní (nebo netriviální).
• Je-li S podmnožina G, existuje nejmenší podgrupa grupy G obsahující S. Tato podgrupa se značí <S> a jmenuje se podgrupa generovaná množinou S (v případě, že S je jednoprvková, píšeme podgrupu jako <a> místo <{a}>).
• Zvláště významné jsou normální podgrupy splňující $\forall g\in G\quad g\cdot H\equiv \{g\cdot h,h\in H\}=\{h\cdot g,h\in H\}\equiv H\cdot g$