Šťastné číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(přesměrováno z Nešťastné číslo)
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tento článek pojednává o matematickém pojmu. Možná hledáte: Šťastná čísla – film Nory Ephron.

Šťastné číslo (anglicky happy number) je v matematice definováno následujícím způsobem: vezme se libovolné kladné celé číslo, nahradí se součtem druhých mocnin svých číslic (kromě nuly) a tento proces se opakuje, dokud se nedojde k číslu jedna (kde se proces zastaví) nebo dokud se v posloupnosti neobjeví některé číslo dvakrát (posloupnost se zacyklí). Ta čísla, která tímto způsobem skončí jedničkou, se nazývají šťastná, ostatní pak nešťastná.

Formálněji řečeno: mějme číslo a definujme posloupnost , , ... kde je součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla . Poté je šťastné právě tehdy, když existuje i takové, že .

Pokud je nějaké číslo šťastné, pak také všechny členy jemu příslušné posloupnosti jsou také šťastnými čísly.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Například 7 je šťastné číslo a přísluší mu tato posloupnost:

72 = 49
42 + 92 = 97
92 + 72 = 130
12 + 32 = 10
12 = 1

číslo 1663 je také šťastné číslo:

12 + 62 + 62 + 32 = 82
82 + 22 = 68
62 + 82 = 100
12 = 1

i číslo 13, obecně pokládané za nešťastné (například triskaidekafobiky), je dle této definice šťastné číslo:

12 + 32 = 10
12 = 1

Chování posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Když není šťastné, pak se jeho posloupnost nedostane k 1. Namísto toho se zacyklí (například pro číslo 4):

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Pokud číslic, poté součet druhých mocnin jimi vyjádřených čísel může být nejvýše (to nastane, pokud jsou všechny číslice devítky).
Pro a více je

tedy každé číslo větší než 1000 se definovaným postupem zmenšuje. V číslech menších než 1000 je číslo, jehož součet druhých mocnin jeho cifer je největší, 999, které dá výsledek 3 krát 81, což je 243.

  • V rozmezí 100 až 243 největší hodnotu, a to 163, dává číslo 199.
  • V rozmezí 100 až 163 největší hodnotu, a to 107, dává číslo 159.
  • V rozmezí 100 až 107 největší hodnotu, a to 50, dává číslo 107.

U čísel v intervalech [244,999], [164,243], [108,163] a [100,107] je vidět, že každé číslo větší než 99 se tímto procesem rychle zmenšuje. Tedy bez ohledu na to, s kterým číslem se začne, nakonec vznikne číslo menší než 100. Každé číslo z intervalu [1,99] je buď šťastné nebo se zacyklí.

Šťastná prvočísla[editovat | editovat zdroj]

Šťastné prvočíslo je takové šťastné číslo, které je zároveň prvočíslem. Šťastná prvočísla menší než 500 jsou:

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (Sekvence A035497 v OEIS).

Všechna čísla, a tedy i všechna prvočísla tvaru a pro n větší než 0 jsou šťastná. Je tomu tak proto, že:

  • Všechna tato čísla mají nejméně 2 číslice.
  • První číslicí je vždy 1.
  • Poslední číslicí je vždy 3 nebo 9.
  • Všechny další číslice jsou 0 (jejich druhá mocnina je taktéž 0, a tedy součet nijak neovlivní).
    • Posloupnost při přidání 3 je: 12 + 32 = 10 → 12 = 1
    • Posloupnost při přidání 9 je: 12 + 92 = 82 → 64 + 4 = 68 → 100 → 1

Palindromické prvočíslo 10150006 + 7426247×1075000 + 1, které má 150007 číslic, je taktéž šťastné číslo, neboť obsahuje mnoho nul, které součet neovlivňují a zbylá čísla dávají , což je šťastné číslo. Toto prvočíslo bylo objeveno Paulem Joblingem v roce 2005.

Šťastná čísla v jiné než desítkové soustavě[editovat | editovat zdroj]

Definice šťastných čísel je závislá na desítkové soustavě. Tuuto definici lze rozšířit na ostatní číselné soustavy.

K vyznačení čísel v jiných soustavách je možné používat číslo v pravém dolním indexu, které představuje zvolenou soustavu. Například představuje číslo 4 ve dvojkové soustavě. V každé číselné soustavě existují šťastná čísla. Například čísla

jsou šťastná pro jakoukoliv číselnou soustavu .

Ze stejného důvodu jako výše se lz přesvědčit, že každé nešťastné číslo v číselné soustavě vede k zacyklení v číslech menších než . Využije se to, že když , pak součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla v soustavě je menší nebo roven

.

Lze dokázat, že tento výraz je vždy menší než . Z toho lze usoudit, že jakmile se posloupnost dostane do čísla menšího než , zůstane v tomto rozmezí, a musí se tedy zacyklit (neboť čísel menších než je jen konečně mnoho) či se dostat na 1.

Ve dvojkové soustavě jsou všechna čísla šťastná. Všechna čísla ve dvojkové soustavě menší než 10002 jsou totiž šťastná:

Dvojková soustava je tedy šťastná číselná soustava. Další takovou soustavou je soustava čtyřková.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Happy number na anglické Wikipedii.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]