Šťastné číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Šťastné číslo je v matematice definováno následujícím způsobem: vezměme libovolné kladné celé číslo, nahraďme jej součtem druhých mocnin jeho cifer a tento proces opakujme, dokud se nedostaneme k číslu jedna (kde se proces zastaví) nebo dokud se nám v posloupnosti neobjeví některé číslo dvakrát (tzn. posloupnost se zacyklí). Ta čísla, která tímto způsobem skončí jedničkou, nazýváme šťastná, ostatní pak nešťastná.

Formálněji řečeno: mějme číslo a definujme posloupnost , , ... kde je součet druhých mocnin cifer čísla . Poté je šťastné právě tehdy, když existuje i takové, že .

Pokud je nějaké číslo šťastné, pak také všechny členy jemu příslušné posloupnosti jsou také šťastnými čísly a vice versa.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Například 7 je šťastné číslo a přísluší mu tato posloupnost:

72 = 49
42 + 92 = 97
92 + 72 = 130
12 + 32 + 02 = 10
12 + 02 = 1

číslo 1663 je také šťastné číslo:

12 + 62 + 62 + 32 = 82
82 + 22 = 68
62 + 82 = 100
12 + 02 + 02 = 1

i číslo 13, obecně pokládané za nešťastné (např. triskaidekafobiky), je dle této definice šťastné číslo:

12 + 32 = 10
12 + 02 = 1

Chování posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Když není šťastné, pak se jeho posloupnost nedostane k 1. Namísto toho se zacyklí (např. pro číslo 4):

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Pro pochopení tohoto faktu nejprve poznamenejme, že pokud cifer, poté součet druhých mocnin těchto cifer může být nejvýše (to nastane, pokud všechny cifry jsou devítky).
Pro a více je

tedy každé číslo větší než 1000 se definovaným postupem zmenšuje. Jakmile se pohybujeme v číslech menších než 1000, číslo, jehož součet druhých mocnin jeho cifer je největší, je 999, které dá výsledek 3 krát 81, což je 243.

  • V rozmezí 100 až 243, číslo 199 dává největší hodnotu, a to 163.
  • V rozmezí 100 až 163, číslo 159 dává největší hodnotu, a to 107.
  • V rozmezí 100 až 107, číslo 107 dává největší hodnotu, a to 50.

Zaměříme-li se pečlivěji na čísla v intervalech [244,999], [164,243], [108,163] a [100,107], zjistíme, že každé číslo větší než 99 se naším procesem rychle zmenšuje. Tedy bez ohledu na to, s kterým číslem začneme, se nakonec dostaneme na číslo menší než 100. Každé číslo z intervalu [1,99] je buď šťastné, a nebo se zacyklí.

Šťastná prvočísla[editovat | editovat zdroj]

Šťastné prvočíslo je takové šťastné číslo, které je zároveň prvočíslem. Šťastná prvočísla menší než 500 jsou:

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (Sekvence A035497 v OEIS).

Všechna čísla, a tedy i všechna prvočísla tvaru a pro n větší než 0 jsou šťastná. Je tomu tak proto, že:

  • Všechna tato čísla mají nejméně 2 cifry.
  • První cifrou je vždy 1.
  • Poslední cifrou je vždy 3 nebo 9.
  • Všechny další cifry jsou 0 (jejich druhá mocnina je taktéž 0, a tedy součet nijak neovlivní).
    • Posloupnost při přidání 3 je: 12 + 32 = 10 → 12 = 1
    • Posloupnost při přidání 9 je: 12 + 92 = 82 → 64 + 4 = 68 → 100 → 1

Palindromické prvočíslo 10150006 + 7426247×1075000 + 1, které má 150007 cifer, je taktéž šťastné číslo, neboť obsahuje mnoho nul, které součet neovlivňují a zbylá čísla dávají , což je šťastné číslo. Toto prvočíslo bylo objeveno Paulem Joblingem v roce 2005.

Šťastná čísla v jiné než desítkové soustavě[editovat | editovat zdroj]

Definice šťastných čísel je závislá na desítkové soustavě. Tato definice může být rozšířena pro ostatní číselné soustavy.

K vyznačení čísel v jiných soustavách můžeme používat číslo v pravém dolním indexu, které representuje námi zvolenou soustavu. Například reprezentuje číslo 4 ve dvojkové soustavě. V každé číselné soustavě existují šťastná čísla. Např. čísla

jsou všechna šťastná pro jakoukoliv číselnou soustavu .

Ze stejného důvodu jako výše se můžeme přesvědčit, že každé nešťastné číslo v číselné soustavě vede k zacyklení v číslech menších než . Můžeme využít toho, že když , pak součet druhých mocnin cifer čísla v soustavě je menší nebo roven

.

Lze dokázat, že tento výraz je vždy menší než . Z toho lze usoudit, že jakmile se posloupnost dostane do čísla menšího než , zůstane v tomto rozmezí, a musí se tedy zacyklit (neboť čísel menších než je jen konečně mnoho) či se dostat na 1.

Ve dvojkové soustavě jsou všechna čísla šťastná. Všechna čísla ve dvojkové soustavě menší než 10002 jsou totiž šťastná:

Dvojková soustava je tedy tzv. šťastná číselná soustava. Další takovou soustavou je soustava čtyřková.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Happy number na anglické Wikipedii.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]