Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Grafy mocninných funkcí x 2 , x 3 a −x −2
Mocninná funkce je elementární matematická funkce , jejíž hodnoty jsou přímo úměrné určité mocnině proměnné, tedy funkce tvaru
f
:
x
↦
a
x
r
a
,
r
∈
R
,
{\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{r}\qquad a,r\in \mathbb {R} ,}
kde
a
{\displaystyle a}
a
r
{\displaystyle r}
jsou konstanty a
x
{\displaystyle x}
je proměnná. Konstanta
r
{\displaystyle r}
se nazývá exponent .
Mocninná funkce, jejíž exponent
r
{\displaystyle r}
je celé číslo nebo nula, je polynomiální funkce s nejvýše jedním nenulovým koeficientem.
Definiční obor závisí na exponentu
r
{\displaystyle r}
, konkrétně na jeho celočíselnosti (tj. zda
r
∈
Z
{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }
) a znaménku podle následující tabulky.
r
>
0
{\displaystyle r>0}
r
<
0
{\displaystyle r<0}
r
=
0
{\displaystyle r=0}
r
∈
Z
{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}
R
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}
nebo
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
[ pozn. 1]
r
∉
Z
{\displaystyle r\notin \mathbb {Z} }
R
0
+
{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
—
↑ Obecně není výraz 00 definován. V případě mocninné funkce je však smysluplné jej dodefinovat vztahem 00 = 1, díky čemuž při
r
=
0
{\displaystyle r=0}
se mocninná funkce zredukuje na konstantu
f
(
x
)
=
a
{\displaystyle f(x)=a}
s definičním oborem
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
.
Obor hodnot závisí na konstantě
a
{\displaystyle a}
a exponentu
r
{\displaystyle r}
.
r
>
0
{\displaystyle r>0}
r
<
0
{\displaystyle r<0}
r
=
0
{\displaystyle r=0}
r
{\displaystyle r}
sudé nebo
∉
Z
{\displaystyle \notin \mathbb {Z} }
r
{\displaystyle r}
liché
r
{\displaystyle r}
sudé nebo
∉
Z
{\displaystyle \notin \mathbb {Z} }
r
{\displaystyle r}
liché
a
>
0
{\displaystyle a>0}
R
0
+
{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
R
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}
{
a
}
{\displaystyle \{a\}}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
R
0
−
{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{-}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
−
{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
R
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}