Variace konstant

Metoda variace konstant nebo variace parametrů je v matematice obecná metoda řešení nehomogenních lineárních obyčejných diferenciálních rovnic.

U rovnic prvního řádu je obvykle snazší hledat řešení metodou integračních faktorů nebo neurčitých koeficientů. Tyto metody však využívají heuristiky, které zahrnují hádání, a nefungují pro všechny nehomogenní lineární diferenciální rovnice.

Metodu variace konstant lze použít i pro lineární parciální diferenciální rovnice, konkrétně pro nehomogenní problémy u rovnic s lineárním rozvojem, jako je rovnice vedení tepla, vlnová rovnice a rovnice kmitající desky. V těchto případech je metoda známější pod názvem Duhamelův princip, podle Jean-Marie Duhamela, který ji poprvé použil na řešení nehomogenní rovnice vedení tepla. Někdy je přímo variace parametrů nazývána Duhamelův princip a naopak.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Metodu variace konstant poprvé použil švýcarský matematik Leonhard Euler (1707–1783) a rozpracoval italsko-francouzský matematik Joseph Louis Lagrange (1736–1813)^[1]. Předchůdce metody variace dráhových parametrů nebeských těles se objevil v Eulerově práci v roce 1748, kdy studoval vzájemné poruchy pohybu Jupitera a Saturna^[2]. Při studiu pohybu Země v roce 1749 získal Euler diferenciální rovnice pro dráhové parametry^[3] a v roce 1753 aplikoval tuto metodu na své studium pohybu Měsíce^[4]. Lagrange první použil tuto metodu v roce 1766^[5]. V letech 1778–1783 Lagrange metodu dále rozvinul jak v řadě monografií o poruchách pohybu planet^[6], tak v další řadě prací o určování drah komet ze tří pozorování^[7]. (Je třeba zmínit, že Euler a Lagrange aplikovali tuto metodu na nelineární diferenciální rovnice, a že místo variací koeficientů v lineární kombinaci řešení homogenní rovnice aplikovali variace na konstanty v rovnicích nerušených pohybů nebeských těles^[8]). Během let 1808–1810 dal Lagrange metodě variace parametrů její konečnou podobu v řadě prací^[9]. Hlavním výsledkem jeho studia byl systém planetárních rovnic v Lagrangeově tvaru, který popisuje rozvoj Keplerovských dráhových parametrů pohybu tělesa rušeného dalšími tělesy.

Ve svém popisu rozvojů drah Lagrange vycházel ze zjednodušeného problému dvou těles pro získání nerušeného řešení a předpokládal, že všechny poruchy pocházejí z gravitačního působení ostatních těles na obíhající těleso. Následkem toho jeho metoda předpokládá, že poruchy závisí pouze na poloze obíhajícího tělesa, ne na jeho rychlosti. Od 20. století se v nebeské mechanice uvažují interakce, které závisí nejen na polohách ale i rychlostech (relativistické korekce, odpor atmosféry, inerciální síly). Proto byla metoda variace parametrů používaná Lagrangem rozšířena na situace se silami závislými na rychlosti^[10].

Popis metody[editovat | editovat zdroj]

Je-li dána obyčejná nehomogenní lineární diferenciální rovnice řádu n

y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=b(x).\quad \quad {\rm {(i)}}

nechť $y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)$ je fundamentální systém řešení odpovídající homogenní rovnici

y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=0.\quad \quad {\rm {(ii)}}

Pak určité řešení nehomogenní rovnice je

y_{p}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}(x)\quad \quad {\rm {(iii)}}

kde $c_{i}(x)$ jsou derivovatelné funkce, tj. předpokládá se, že vyhovují podmínce

\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(j)}(x)=0\,\mathrm {,} \quad j=0,\ldots ,n-2.\quad \quad {\rm {(iv)}}

začínáme s (iii), opakovaná diferenciace kombinovaná s opakovaným použitím (iv) dává

y_{p}^{(j)}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}^{(j)}(x)\,\mathrm {,} \quad j=0,\ldots ,n-1\,\mathrm {.} \quad \quad {\rm {(v)}}

Poslední diferenciace dává

y_{p}^{(n)}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)+\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}^{(n)}(x)\,\mathrm {.} \quad \quad {\rm {(vi)}}

Substitucí (iii) do (i) a použitím (v) a (vi) dostáváme, že

\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)=b(x).\quad \quad {\rm {(vii)}}

Lineární systém (iv a vii) n-té rovnice pak lze vyřešit pomocí Cramerova pravidla, což dává

c_{i}'(x)={\frac {W_{i}(x)}{W(x)}},\,\quad i=1,\ldots ,n

kde $W(x)$ je Wronskián fundamentálního systému a $W_{i}(x)$ je Wronskián fundamentálního systému s i-tým sloupcem nahrazeným $(0,0,\ldots ,b(x)).$

Určité řešení nehomogenní rovnice lze pak psát jako

\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x)\,\int {\frac {W_{i}(x)}{W(x)}}\mathrm {d} x.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Zvláštní rovnice druhého řádu[editovat | editovat zdroj]

Máme řešit rovnici

y''+4y'+4y=\cosh {x}.\;\!

nejdříve najdeme obecné řešení diferenciální rovnice, to jest řešení homogenní diferenciální rovnice

y''+4y'+4y=0.\;\!

určíme kořeny charakteristické rovnice

\lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}=0\;\!

\lambda =-2.\;\!

protože řešením je vícenásobný kořen, musíme zavést faktor x pro jedno řešení pro zajištění lineární nezávislosti.

Tak získáme u₁ = e^−2x a u₂ = xe^−2x. Wronskián těchto dvou funkcí je

{\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\\\end{vmatrix}}=-e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x}

=-e^{-4x}(2x-1)+2xe^{-4x}=(-2x+1+2x)e^{-4x}=e^{-4x}.\;\!

Protože Wronskián je nenulový, funkce jsou lineárně nezávislé, takže jsme získali přímo obecné řešení homogenní diferenciální rovnice (nejen jeho podmnožinu).

Hledáme funkce A(x) a B(x), tak že A(x)u₁ + B(x)u₂ je obecné řešení nehomogenní rovnice. Potřebujeme pouze vypočítat integrály

A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)b(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)b(x)\,\mathrm {d} x

to jest,

A(x)=-\int {1 \over e^{-4x}}xe^{-2x}\cosh {x}\,\mathrm {d} x=-\int xe^{2x}\cosh {x}\,\mathrm {d} x=-{1 \over 18}e^{x}(9(x-1)+e^{2x}(3x-1))+C_{1}

B(x)=\int {1 \over e^{-4x}}e^{-2x}\cosh {x}\,\mathrm {d} x=\int e^{2x}\cosh {x}\,\mathrm {d} x={1 \over 6}e^{x}(3+e^{2x})+C_{2}

kde $C_{1}$ a $C_{2}$ jsou integrační konstanty.

Obecné rovnice druhého řádu[editovat | editovat zdroj]

Máme diferenciální rovnici tvaru

u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)\,

a definujeme lineární operátor

L=D^{2}+p(x)D+q(x)\,

kde D reprezentuje diferenciální operátor. Proto máme jak řešit rovnice $Lu(x)=f(x)$ pro $u(x)$ , kde $L$ a $f(x)$ jsou známé.

Musíme vyřešit první odpovídajícím homogenní rovnici:

u''+p(x)u'+q(x)u=0\,

libovolnou technikou, kterou si vybereme. Jakmile budeme mít dvě lineárně nezávislá řešení této homogenní diferenciální rovnice (protože se jedná o rovnici druhého řádu) — označíme je u₁ a u₂ — můžeme využít metodu variace konstant.

Od tohoto okamžiku tedy hledáme obecné řešení diferenciální rovnice $u_{G}(x)$ , o němž předpokládáme, že je tvaru

u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x).\,

kde $A(x)$ a $B(x)$ jsou neznámé funkce a $u_{1}(x)$ a $u_{2}(x)$ jsou řešení na homogenní rovnice. Všimněte si, že jestliže $A(x)$ a $B(x)$ jsou konstantní, pak $Lu_{G}(x)=0$ . Požadujeme, aby A=A(x) a B=B(x) byla tvaru

A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.\,

Nyní,

u_{G}'(x)=(A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x))'=(A(x)u_{1}(x))'+(B(x)u_{2}(x))'\,

=A'(x)u_{1}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}(x)+B(x)u_{2}'(x)\,

=A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\,

a díky platnosti výše uvedené podmínky dostáváme

u_{G}'(x)=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x).\,

Dalším derivováním (mezikroky nejsou uvedeny)

u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).\,

Nyní můžeme zapsat použití L na u_G jako

Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).\,

Protože u₁ a u₂ jsou řešení, pak

Lu_{G}=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).\,

dostáváme systém rovnic

{\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}.

roznásobením dostaneme

{\begin{pmatrix}A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)\\A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}.

Takže výše uvedený systém určuje právě podmínku

A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0\,

A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)=Lu_{G}=f.\,

Hledáme A(x) a B(x) z této podmínky, tak, daný

{\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}

můžeme řešit pro (A′(x), B′(x))^T, tak

{\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}

={1 \over W}{\begin{pmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}},

kde W označuje Wronskián u₁ a u₂. (Z předpokladu, že u₁ a u₂ jsou lineárně nezávislé, víme, že W je nenulový.)

Tedy

A'(x)=-{1 \over W}u_{2}(x)f(x),\;B'(x)={1 \over W}u_{1}(x)f(x)

A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,\mathrm {d} x.

Zatímco homogenní rovnice lze řešit relativně snadno, tato metoda umožňuje výpočet koeficientů obecného řešení nehomogenní rovnice a tedy umožňuje zjistit úplné obecné řešení nehomogenní rovnice.

Všimněte si, že $A(x)$ a $B(x)$ jsou vesměs určeny až na aditivní konstantu (integrační konstanta); očekávali bychom dvě integrační konstanty, protože původní rovnice byla druhého řádu. Přidáním konstanty k $A(x)$ nebo $B(x)$ se hodnota $Lu_{G}(x)$ nezmění, protože $L$ je lineární.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Variation of parameters na anglické Wikipedii.

↑
Viz
- Forest Ray Moulton, An Introduction to Celestial Mechanics, 2nd ed. (poprvé publikováno vydavatelstvím Macmillan Company v roce 1914; reprint v roce 1970 vydalo nakladatelství Dover Publications, Inc., Mineola, New York), stránka 431.
- Edgar Odell Lovett (1899) "Theory of perturbations a Lie's theory of contact transformations," Quarterly Journal of Pure a Applied Mathematics, vol. 30, stránky 47-149; viz zvláště stránky 48-61.
↑ Euler, L. (1748) "Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et de Jupiter, sujet proposé pour le prix de l'année 1748, par l’Académie Royale des Sciences de Paris" [Zkoumání poruch pohybu Saturna a Jupitera; toto téma bylo navrženo Královskou akademií věd v Paříži pro cenu roku 1748] (Paříž, Francie: G. Martin, J.B. Coignard, & H.L. Guerin, 1749).
↑ Euler, L. (1749) "Recherches sur la précession des équinoxes, et sur la nutation de l’axe de la terre," Histoire [nebo Mémoires ] de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 289-325 [publikováno v roce 1751].
↑ Euler, L. (1753) Theoria motus lunae: exhibens omnes ejus inaequalitates … [Teorie pohybu Měsíce: demonstrace všech jeho nepravidelností… ] (Saint Petersburg, Russia: Academia Imperialis Scientiarum Petropolitanae [Imperial Academy of Science (St. Petersburg)], 1753).
↑ Lagrange, J.-L. (1766) “Solution de différens problèmes du calcul integral,” Mélanges de philosophie et de mathématique de la Société royale de Turin, sv. 3, stránky 179-380.
↑
Viz
- Lagrange, J.-L. (1781) "Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Premiere partie, … ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 199-276.
- Lagrange, J.-L. (1782) "Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Seconde partie, … ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 169-292.
- Lagrange, J.-L. (1783) "Théorie des variace périodiques des mouvemens des Planetes. Premiere partie, … ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 161-190.
↑
Viz
- Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations, premier mémoire" (K problému určování drah komet ze tří pozorování, první monografie), Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 111-123 [publikováno v roce 1780].
- Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations, druhý mémoire", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 124-161 [publikováno v roce 1780].
- Lagrange, J.-L. (1783) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations. Troisième mémoire, dans lequel on donne une řešení directe et générale du problème.", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 296-332 [publikováno v roce 1785].
↑ Michael Efroimsky (2002) "Implicit gauge symmetry emerging in N-body problem of celestial mechanics," stránka 3.
↑
Viz
- Lagrange, J.-L. (1808) “Sur la théorie des variations des éléments des planètes et en particulier des variace des grands axes de leurs orbites,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange s Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, stránky 713-768.
- Lagrange, J.-L. (1809) “Sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange s Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, stránky 771-805.
- Lagrange, J.-L. (1810) “Second mémoire sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique, … ,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange s Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, stránky 809-816.
↑
Viz
- Michael Efroimsky (2005) "Gauge Freedom in Orbital Mechanics." ANYAS, Vol. 1065, pp. 346–374 (2005)
- Michael Efroimsky and Peter Goldreich (2004) "Gauge symmetry of the N-body problem of Celestial Mechanics." Astronomy and Astrophysics, Vol. 415, pp. 1187–1199. (2004)

CODDINGTON, Earl.; LEVINSON, Norman. Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill, 1955. Dostupné online.
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 8th Edition. [s.l.]: Wiley Interscience, 1965. , stránky 186-192, 237-241
TESCHL, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society Dostupné online. ^{[nedostupný zdroj]}

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Paul Dawkins Lamar University: Online poznámky a důkaz.
Stránka PlanetMath Archivováno 12. 12. 2009 na Wayback Machine..
Motivace metody nebeskou mechanikou, (původní URL)

[1] Viz
Forest Ray Moulton, An Introduction to Celestial Mechanics, 2nd ed. (poprvé publikováno vydavatelstvím Macmillan Company v roce 1914; reprint v roce 1970 vydalo nakladatelství Dover Publications, Inc., Mineola, New York), stránka 431.

Edgar Odell Lovett (1899) "Theory of perturbations a Lie's theory of contact transformations," Quarterly Journal of Pure a Applied Mathematics, vol. 30, stránky 47-149; viz zvláště stránky 48-61.

[2] Forest Ray Moulton, An Introduction to Celestial Mechanics, 2nd ed. (poprvé publikováno vydavatelstvím Macmillan Company v roce 1914; reprint v roce 1970 vydalo nakladatelství Dover Publications, Inc., Mineola, New York), stránka 431.

[3] Edgar Odell Lovett (1899) "Theory of perturbations a Lie's theory of contact transformations," Quarterly Journal of Pure a Applied Mathematics, vol. 30, stránky 47-149; viz zvláště stránky 48-61.

[2] Euler, L. (1748) "Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et de Jupiter, sujet proposé pour le prix de l'année 1748, par l’Académie Royale des Sciences de Paris" [Zkoumání poruch pohybu Saturna a Jupitera; toto téma bylo navrženo Královskou akademií věd v Paříži pro cenu roku 1748] (Paříž, Francie: G. Martin, J.B. Coignard, & H.L. Guerin, 1749).

[3] Euler, L. (1749) "Recherches sur la précession des équinoxes, et sur la nutation de l’axe de la terre," Histoire [nebo Mémoires ] de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 289-325 [publikováno v roce 1751].

[4] Euler, L. (1753) Theoria motus lunae: exhibens omnes ejus inaequalitates … [Teorie pohybu Měsíce: demonstrace všech jeho nepravidelností… ] (Saint Petersburg, Russia: Academia Imperialis Scientiarum Petropolitanae [Imperial Academy of Science (St. Petersburg)], 1753).

[5] Lagrange, J.-L. (1766) “Solution de différens problèmes du calcul integral,” Mélanges de philosophie et de mathématique de la Société royale de Turin, sv. 3, stránky 179-380.

[6] Viz
Lagrange, J.-L. (1781) "Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Premiere partie, … ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 199-276.

Lagrange, J.-L. (1782) "Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Seconde partie, … ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 169-292.

Lagrange, J.-L. (1783) "Théorie des variace périodiques des mouvemens des Planetes. Premiere partie, … ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 161-190.

[9] Lagrange, J.-L. (1781) "Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Premiere partie, … ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 199-276.

[10] Lagrange, J.-L. (1782) "Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Seconde partie, … ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 169-292.

[11] Lagrange, J.-L. (1783) "Théorie des variace périodiques des mouvemens des Planetes. Premiere partie, … ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 161-190.

[7] Viz
Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations, premier mémoire" (K problému určování drah komet ze tří pozorování, první monografie), Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 111-123 [publikováno v roce 1780].

Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations, druhý mémoire", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 124-161 [publikováno v roce 1780].

Lagrange, J.-L. (1783) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations. Troisième mémoire, dans lequel on donne une řešení directe et générale du problème.", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 296-332 [publikováno v roce 1785].

[13] Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations, premier mémoire" (K problému určování drah komet ze tří pozorování, první monografie), Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 111-123 [publikováno v roce 1780].

[14] Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations, druhý mémoire", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 124-161 [publikováno v roce 1780].

[15] Lagrange, J.-L. (1783) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations. Troisième mémoire, dans lequel on donne une řešení directe et générale du problème.", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), stránky 296-332 [publikováno v roce 1785].

[8] Michael Efroimsky (2002) "Implicit gauge symmetry emerging in N-body problem of celestial mechanics," stránka 3.

[9] Viz
Lagrange, J.-L. (1808) “Sur la théorie des variations des éléments des planètes et en particulier des variace des grands axes de leurs orbites,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange s Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, stránky 713-768.

Lagrange, J.-L. (1809) “Sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange s Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, stránky 771-805.

Lagrange, J.-L. (1810) “Second mémoire sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique, … ,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange s Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, stránky 809-816.

[18] Lagrange, J.-L. (1808) “Sur la théorie des variations des éléments des planètes et en particulier des variace des grands axes de leurs orbites,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange s Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, stránky 713-768.

[19] Lagrange, J.-L. (1809) “Sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange s Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, stránky 771-805.

[20] Lagrange, J.-L. (1810) “Second mémoire sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique, … ,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange s Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, stránky 809-816.

[10] Viz
Michael Efroimsky (2005) "Gauge Freedom in Orbital Mechanics." ANYAS, Vol. 1065, pp. 346–374 (2005)

Michael Efroimsky and Peter Goldreich (2004) "Gauge symmetry of the N-body problem of Celestial Mechanics." Astronomy and Astrophysics, Vol. 415, pp. 1187–1199. (2004)

[22] Michael Efroimsky (2005) "Gauge Freedom in Orbital Mechanics." ANYAS, Vol. 1065, pp. 346–374 (2005)

[23] Michael Efroimsky and Peter Goldreich (2004) "Gauge symmetry of the N-body problem of Celestial Mechanics." Astronomy and Astrophysics, Vol. 415, pp. 1187–1199. (2004)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]