Lineární harmonický oscilátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Lineární harmonický oscilátor

Modelem kvantového lineárního harmonického oscilátoru je každý oscilující objekt kolem své rovnovážné polohy např. kmity atomů v krystalické mřížce. Lineární harmonický oscilátor patří mezi výjimky kvantové mechaniky, které lze řešit analyticky Schrödingerovou rovnicí. Řada fyzikálních jevů lze také přinejmenším přibližně převést na harmonický oscilátor a popsat je tak s dostatečnou přesností.

Kvantový popis lineárního oscilátoru[editovat | editovat zdroj]

Kvantový popis lineárního harmonického oscilátoru je modelový systém, zahrnující částici vázanou na přímku nacházející se v poli sil popsaných potenciální energii V(x). V poli tohoto potenciálu se studují stacionární stavy a pohyb částice.

Pokud tedy pro V(x) platí

V(x)=\frac{1}{2}m \omega^2 x^2\,,

tak klasický Hamiltonův operátor můžeme zapsat jako

\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2\,.

S ohledem na Hamiltonův operátor a definici Laplaceova operátoru \Delta má stacionární Schrödingerova rovnice pro lineární harmonický oscilátor tvar

\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\part^2}{\part x^2} + \frac{m\omega^2}{2} x^2 \right) \Psi (x) = E \Psi (x)

Vynásobíme-li celou rovnici \frac{2}{\hbar \omega} , získáme

\left(-\frac{\hbar}{m\omega} \frac{\part^2}{\part x^2} + \frac{m\omega}{\hbar} x^2 \right) \Psi (x) = \frac{2E}{\hbar\omega} \Psi (x)

a zavedeme-li pro zjednodušení rovnice bezrozměrné veličiny

\lambda = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\,,
\xi=\frac{2E}{\hbar\omega}\,,

rovnice přejde ve tvar

\left(\frac{\part^2}{\part \xi^2} - \xi^2 \right) \Psi (\xi) = -\lambda \Psi(\xi)\,.

Po úpravě dostaneme

\frac{\part^2 \Psi(\xi)}{\part \xi^2} + (\lambda-\xi^2) \Psi(\xi) = 0 \,.

Odhad řešení v asymptotické oblasti[editovat | editovat zdroj]

Řešení vyjádřené rovnice nelze nalézt jednoduchým matematickým aparátem a vyžaduje komplikovanější úvahy. V souladu s požadavky kladenými na vlnovou funkci \Psi budeme požadovat, aby řešení rovnice byla konečná, jednoznačná a spojitá. Nejdříve odhadneme chování vlnové funkce \Psi v asymptotické oblasti (\xi\to\pm\infty). Pro hodnoty \xi\to\pm\infty lze \lambda v rovnici zanedbat a ta se pak zjednodušuje na tvar

\frac{\part^2 \Psi(\xi)}{\part \xi^2} - \xi^2 \Psi(\xi) = 0 \,.

Jejím řešením je na stejné úrovni přesnosti rovnice, kde A a B jsou libovolné konstanty.

\Psi(\xi) = A^\frac{-\xi^2}{2} + B^\frac{\xi^2}{2} \,.

Pro znaménko plus v exponenciále vlnová funkce \Psi diverguje pro (\xi\to\pm\infty) a nelze ji normovat. Proto v asymptotické oblasti přibližně platí

\Psi(\xi) \approx A^\frac{-\xi^2}{2} \,.

Zpřesnění řešení v oblasti konečných hodnot[editovat | editovat zdroj]

Mimo asymptotickou oblast získané přibližné řešení původní rovnice pochopitelně nevyhovuje. Přejít k řešení přesnému, a to pro všechny hodnoty \xi, znamená předpokládat, že A na \xi závisí. To znamená, že přesné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice je ve tvaru

\Psi(\xi) = A(\Psi)^-\frac{\xi^2}{2} \,,

kde A(\Psi) je dosud neurčená funkce modulující exponenciálu exp(\frac{-\xi^2}{2}) dosazením předešlé rovnice pro \Psi získáme novou rovnici pro neznámou funkci A(\Psi)

\frac{\part^2 A}{\part \xi^2} - 2\xi\frac{\part A}{\part \xi} + (\lambda-1)A = 0\,.

Funkci A(\Psi) budeme hledat ve tvaru mocninné řad

A(\Psi) = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k \,.

Neznámé koeficienty a_k pak získáme postupem, který zahrnuje dosazení řady pro A do odpovídající rovnice a porovnání členů se stejnými mocninami \xi^k. Po jistém úsilí získáme

a_k = \frac{(1-\lambda)(5-\lambda)...(2k-3-\lambda)}{k!}a_0 \,, pro k=2,4,6,...
a_k = \frac{(3-\lambda)(7-\lambda)...(2k-3-\lambda)}{k!}a_1 \,, pro k=3,5,7,...

Protože A je řešení obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, závisí podle očekávání na dvou konstantách a_0 a a_1. Ukazuje se však, že nekonečná řada A(\Psi) se pro velká \lambda chová jako funkce exp(\frac{-\xi^2}{2}) , což znamená, že vlnová funkce \Psi(\xi) = A(\Psi)^-\frac{\xi^2}{2} pro (\xi\to\pm\infty) diverguje. Funkce A(\Psi) proto nemůže mít předpokládaný tvar nekonečné řady. Nezbývá než předpokládat, že má funkce A(\Psi) tvar polynomu, to znamená, že počínaje určitým k platí a_{k+2} = 0 a pro dosud libovolné \lambda musí splňovat podmínku

\lambda = 2n+1 \,, pro n=0,1,2,...

Energetické spektrum[editovat | editovat zdroj]

S ohledem na předešlý vztah a rovnici \lambda = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x dostáváme kvantování energií stacionárních stavů lineárního harmonického oscilátoru[1] [2]

E_n = \frac{\hbar\omega\lambda}{2} = \hbar\omega\frac{2n+1}{2} = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) \,.

Srovnání klasického a kvantového oscilátoru[editovat | editovat zdroj]

  • Ze vztahu E_n = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) můžeme odvodit, že energie kvantového oscilátoru je kvantována a také že jednotlivé energetické hladiny jsou rozloženy s konstantním krokem.
  • Zároveň si musíme uvědomit, že uvedený vztah platí i pro makroskopický oscilátor, ale kvanta jsou u něj příliš malá, tudíž je můžeme zanedbat a klasický harmonický oscilátor tak nabývat praktický všech stavů (a nemá pro něj vztah smysl). Naopak u mikroskopických objektů se objevují děje s velmi malými kvantovými čísly, takže rozdíly mezi energetickými hladinami jsou v mikrosvětě větší a hodnoty stavů jsou diskrétní.
  • Další příklad rozporu nastává u nejmenší možné energie (tzv. energie základního stavu) kvantového oscilátoru, kde je hodnota nenulová, což se v klasické mechanice stát nemůže.
  • Rozdíl nastává i u určení kinetické a potenciální energie, kdy u klasického oscilátoru je můžeme určit současně, kdežto v kvantové teorii spolu operátory kinetické a potenciální energie „nekomutují“. „nekomunikují
  • Naopak shodnost těchto dvou systémů můžeme pozorovat u hustoty pravděpodobnosti, která je soustředěna v kvantovém oscilátoru u bodů obratu. Tento jev je shodný s jevem u klasického oscilátoru a je patrný se vzrůstající energií. To si můžeme vysvětlit tím, že čím větší je kvantové číslo (energie) tím více se blížíme ke klasické fyzice.
  • Pozoruhodné je také sledovat, že vlnové funkce jsou nenulové i v klasické zakázané oblasti, kde E<V(x). Proto je také nenulová pravděpodobnost, že nalezneme částici mimo vnitřní oblast potenciální energie.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. SKÁLA, Lubomír. Úvod do kvantové mechaniky. Praha : Academia, 2005. ISBN 802001316.  
  2. Lineární harmonický oscilátor - podrobné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice [online]. http://artemis.osu.cz, [cit. 2010-12-17]. Dostupné online.  

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]