Kvantový harmonický oscilátor

Lineární harmonický oscilátor

Modelem kvantového lineárního harmonického oscilátoru je každý oscilující objekt kolem své rovnovážné polohy např. kmity atomů v krystalické mřížce. Lineární harmonický oscilátor patří mezi výjimky kvantové mechaniky, které lze řešit analyticky Schrödingerovou rovnicí. Řadu fyzikálních jevů lze také přinejmenším přibližně převést na harmonický oscilátor a popsat je tak s dostatečnou přesností.

Kvantový popis lineárního oscilátoru

Kvantový lineární harmonický oscilátor je modelový systém, zahrnující částici vázanou na přímku nacházející se v poli sil popsaných potenciální energii $V(x)$, která závisí na poloze částice kvadraticky. Kvůli vázanosti na přímku se tento systém často označuje jako jednorozměrný harmonický oscilátor. Pro tento systém se studují stacionární stavy a pohyb částice.

Pokud potenciál $V(x)$ zapíšeme jako

$V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,,$

pak Hamiltonův operátor pro jednorozměrný lineární harmonický oscilátor můžeme zapsat jako

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,.$

Stacionární Schrödingerova rovnice pro lineární harmonický oscilátor tvar

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)\Psi (x)=E\Psi (x)$

Vynásobíme-li celou rovnici ${\frac {2}{\hbar \omega }}$ , získáme

$\left(-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega }{\hbar }}x^{2}\right)\Psi (x)={\frac {2E}{\hbar \omega }}\Psi (x)$

a zavedeme-li pro zjednodušení rovnice bezrozměrné veličiny

$\xi ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\,,$

$\lambda ={\frac {2E}{\hbar \omega }}\,,$

rovnice přejde ve tvar

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}-\xi ^{2}\right)\Psi (\xi )=-\lambda \Psi (\xi )\,.$

Po úpravě dostaneme

${\frac {\partial ^{2}\Psi (\xi )}{\partial \xi ^{2}}}+(\lambda -\xi ^{2})\Psi (\xi )=0\,.$

Odhad řešení v asymptotické oblasti

Řešení vyjádřené rovnice nelze nalézt jednoduchým matematickým aparátem a vyžaduje komplikovanější úvahy. V souladu s požadavky kladenými na vlnovou funkci $\Psi$ budeme požadovat, aby řešení rovnice byla konečná, jednoznačná a spojitá. Nejdříve odhadneme chování vlnové funkce $\Psi$ v asymptotické oblasti $(\xi \to \pm \infty )$. Pro hodnoty $\xi \to \pm \infty$ lze $\lambda$ v rovnici zanedbat a ta se pak zjednodušuje na tvar

${\frac {\partial ^{2}\Psi (\xi )}{\partial \xi ^{2}}}-\xi ^{2}\Psi (\xi )=0\,.$

Jejím řešením je na stejné úrovni přesnosti rovnice, kde $A$ a $B$ jsou libovolné konstanty.

$\Psi (\xi )=A\exp({\frac {-\xi ^{2}}{2}})+B\exp({\frac {\xi ^{2}}{2}}).$

Pro znaménko plus v exponenciále vlnová funkce $\Psi$ diverguje pro $(\xi \to \pm \infty )$ a nelze ji normovat. Proto v asymptotické oblasti přibližně platí

$\Psi (\xi )\approx A\exp({\frac {-\xi ^{2}}{2}}).$

Zpřesnění řešení v oblasti konečných hodnot

Mimo asymptotickou oblast získané přibližné řešení původní rovnice pochopitelně nevyhovuje. Přejít k řešení přesnému, a to pro všechny hodnoty $\xi$, znamená předpokládat, že $A$ na $\xi$ závisí. To znamená, že přesné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice je ve tvaru

$\Psi (\xi )=A(\xi )\exp(-{\frac {\xi ^{2}}{2}})\,,$

kde $A(\xi )$ je dosud neurčená funkce modulující exponenciálu $\exp \left({\frac {-\xi ^{2}}{2}}\right)$ dosazením předešlé rovnice pro $\Psi$ získáme novou rovnici pro neznámou funkci $A(\xi )$

${\frac {\partial ^{2}A}{\partial \xi ^{2}}}-2\xi {\frac {\partial A}{\partial \xi }}+(\lambda -1)A=0\,.$

Funkci $A(\xi )$ budeme hledat ve tvaru mocninné řady

$A(\xi )=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\xi ^{k}\,.$

Neznámé koeficienty $a_{k}$ pak získáme postupem, který zahrnuje dosazení řady pro $A$ do odpovídající rovnice a porovnání členů se stejnými mocninami $\xi ^{k}$. Po jistém úsilí získáme

$a_{k}={\frac {(1-\lambda )(5-\lambda )\dots (2k-3-\lambda )}{k!}}a_{0}\,,$ pro k = 2, 4, 6, …

$a_{k}={\frac {(3-\lambda )(7-\lambda )\dots (2k-3-\lambda )}{k!}}a_{1}\,,$ pro k = 3, 5, 7, …

Protože $A$ je řešení obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, závisí podle očekávání na dvou konstantách $a_{0}$ a $a_{1}$. Ukazuje se však, že nekonečná řada $A(\Psi )$ se pro velká $\lambda$ chová jako funkce $\exp \left({\frac {-\xi ^{2}}{2}}\right)$ , což znamená, že vlnová funkce $\Psi (\xi )=A(\xi )\exp(-{\frac {\xi ^{2}}{2}})$ pro $(\xi \to \pm \infty )$ diverguje. Funkce $A(\xi )$ proto nemůže mít předpokládaný tvar nekonečné řady. Nezbývá než předpokládat, že má funkce $A(\xi )$ tvar polynomu, to znamená, že počínaje určitým $k$ platí $a_{k+2}=0$ a pro dosud libovolné $\lambda$ musí splňovat podmínku

$\lambda =2n+1\,,$ pro n=0,1,2,...

Energetické spektrum

S ohledem na předešlý vztah a rovnici $\lambda ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x$ dostáváme kvantování energií stacionárních stavů lineárního harmonického oscilátoru

$E_{n}={\frac {\hbar \omega \lambda }{2}}=\hbar \omega {\frac {2n+1}{2}}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.$

Srovnání klasického a kvantového oscilátoru

• Ze vztahu $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)$je patrné, že energie kvantového oscilátoru je kvantována, a také že jednotlivé energetické hladiny jsou rozloženy s konstantním krokem.
• Zároveň si musíme uvědomit, že uvedený vztah platí i pro makroskopický oscilátor, ale kvanta jsou u něj příliš malá, tudíž je můžeme zanedbat a klasický harmonický oscilátor tak nabývat praktický všech stavů (a nemá pro něj vztah smysl). Naopak u mikroskopických objektů se objevují děje s velmi malými kvantovými čísly, takže rozdíly mezi energetickými hladinami jsou v mikrosvětě větší a hodnoty stavů jsou diskrétní.
• Další příklad rozporu nastává u nejmenší možné energie (tzv. energie základního stavu) kvantového oscilátoru, kde je hodnota nenulová, což se v případě lineárního harmonického oscilátoru v klasické mechanice stát nemůže.
• Rozdíl nastává i u možnosti určení kinetické a potenciální energie. U klasického oscilátoru je můžeme určit současně. V kvantové teorii spolu operátory kinetické a potenciální energie nekomutují a nelze je tedy určit současně.
• Naopak shodnost těchto dvou systémů můžeme pozorovat u hustoty pravděpodobnosti, která je soustředěna v kvantovém oscilátoru u bodů obratu. Tento jev je shodný s jevem u klasického oscilátoru a je patrný se vzrůstající energií. To si můžeme vysvětlit tím, že čím větší je kvantové číslo (energie) tím více se blížíme ke klasické fyzice.
• Pozoruhodné je také sledovat, že vlnové funkce jsou nenulové i v klasické zakázané oblasti, kde $E<V(x)$. Proto je také nenulová pravděpodobnost, že nalezneme částici mimo vnitřní oblast potenciální energie.

Související články

• Potenciálová bariéra
• Potenciálová jáma
• Volná částice

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Lineární harmonický oscilátor na Wikimedia Commons
• Ondřej Kučera: Srovnání klasického a kvantového oscilátoru, 19. prosince 2010 fai.utb.cz
• Simulační applet: Kvantový harmonický oscilátor, University of Colorado

Autoritní data	NKC: ph115048