Přeskočit na obsah

Keplerův trojúhelník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Keplerův trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník s obsahy čtverců nad odvěsnami a přeponou, které tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem - poměrem zlatého řezu .

Keplerův trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník s délkami stran které tvoří geometrickou posloupnost. Kvocient této posloupnosti je , kde je hodnota poměru zlatého řezu. Hodnota . Posloupnost velikostí stran lze zapsat: , nebo přibližně 1 : 1,272: 1,618. [1] Obsahy čtverců nad stranami tohoto trojúhelníku tvoří také v geometrickou posloupnost s kvocientem tj. poměrem zlatého řezu.

Pythagorova věta a zlatý řez v trojúhelníku

[editovat | editovat zdroj]

Trojúhelníky s takovými poměry jsou pojmenovány po německém matematikovi a astronomovi Johannesu Keplerovi (1571–1630), který jako první popsal, že v tomto trojúhelníku je poměr mezi jeho přeponou a kratší odvěsnou rovný zlatému řezu. Keplerův trojúhelník kombinuje Pythagorovu větu a zlatý řez. To Keplera hluboce fascinovalo, řekl:[2]

Geometrie má dva poklady: Pythagorovu větu a zlatý řez. První má cenu zlata, druhý připomíná spíše drahocenný kámen.
— Johannes Kepler

Skutečnost, že trojúhelník se stranami , a , tvoří pravoúhlý trojúhelník, vyplývá přímo ze vztahu kvadratické rovnice určující hodnotu zlatého řezu :

do podoby Pythagorovy věty:

Sestrojení Keplerova trojúhelníku

[editovat | editovat zdroj]
Metoda pro konstrukci Keplerova trojúhelníku pomocí zlatého obdélníku

Keplerův trojúhelník lze Eukleidovsky sestrojit, tak že nejprve vytvoříte tzv. zlatý obdélník:

  1. Sestrojte čtverec o straně jednotkové velikosti.
  2. Narýsujte úsečku ze středu jedné strany čtverce do protilehlého vnitřního úhlu čtverce.
  3. Tuto úsečku použijte jako poloměr k nakreslení oblouku, který určí výšku obdélníku.
  4. Dokončete sestrojení zlatého obdélníku.
  5. Narýsujte oblouk s poloměrem delší strany zlatého obdélníku. V místě, kde protíná oblouk protilehlou stranu obdélníku, je určena přepona Keplerova trojúhelníku.

Matematická náhoda

[editovat | editovat zdroj]
construction
Zajímavá matematická náhoda: Kruh a čtverec mají přibližně stejný obvod

Pokud v Keplerově trojúhelníku se stranami sestrojíme kružnici opsanou a čtverec se stranou o velikosti větší odvěsny, pak se obvody čtverce ( ) a kruhu ( ) téměř shodují. Rozdíl je menší než než 0,1%.

Jedná se o matematickou náhodu (koincidenci) . Tento čtverec a kruh nemohou mít úplně stejný obvod, protože v takovém případě by byl člověk schopen vyřešit klasický (nemožný) problém kvadratury kruhu. Jinými slovy, , protože je transcendentální číslo.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Kepler triangle na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

[editovat | editovat zdroj]