Křivost křivky

Křivost křivky je převrácená hodnota poloměru křivosti křivky. Má význam v diferenciální geometrii či při výpočtu průhybů nosníků. Lze také říci, že v daném bodě křivky $f$ se její křivost nejlépe přimyká kružnici, jejíž poloměr se nazývá poloměr křivosti v tomto bodě. Křivost určuje míru vychýlení křivky od její tečny v daném bodě.

Vztahy pro výpočet křivosti křivky

• Je-li známá rovnice rovinné křivky $f=f(x)$ v kartézském souřadném systému, pak křivost křivky $\kappa$ je převrácená hodnota poloměru křivosti křivky r . Platí

$\kappa ={\frac {1}{r}}={\frac {d^{2}f \over dx^{2}}{[1+({df \over dx})^{2}]^{3/2}}}={\frac {y''}{[1+y'^{2}]^{3/2}}}$.

V některých případech je vhodné výše uvedený nelineární vztah zjednodušit, potom platí

$\kappa ={\frac {1}{r}}\approx {\frac {d^{2}f \over dx^{2}}{1+{\frac {3}{2}}{\bigl (}{df \over dx}{\bigr )}^{2}}}\approx {d^{2}f \over dx^{2}}$.

Výše uvedený vztah je používaný v základní mechanice nosníků.

• Je-li rovnice křivky daná parametricky $x=p(t),y=q(t)$ v kartézském souřadném systému

$\kappa ={\frac {|y''x'-x''y'|}{({x'}^{2}+{y'}^{2})^{3/2}}}.$

Další informace

Inflexní bod křivky má nulovou křivost.

Poloměr křivosti křivky je také poloměrem její oskulační kružnice.

Kružnice je křivka s konstantním poloměrem křivosti, který je v absolutní hodnotě roven poloměru kružnice. Přímka, polopřímka a úsečka mají nekonečný poloměr křivosti (tj. přímku si lze představit jako kružnici o nekonečném poloměru). Kružnice, přímka, polopřímka a úsečka jsou jediné rovinné křivky s konstantní křivostí, viz řešené příklady.

V obecném případě, u prostorových křivek se používají pro výpočet křivosti Frenetovy vzorce.

Křivost má význam v diferenciální geometrii či při výpočtu průhybů a napětí u nosníků, desek a skořepin v mechanice, při řešení kinematiky a dynamiky pohybu, v optice (poloměr křivosti optických čoček a zrcadel) aj.

Blíže např. , a elektronická učebnice diferenciální geometrie křivek a ploch .

Příklady výpočtu

Křivost přímky, polopřímky či úsečky (nejjednodušší příklad)

Přímka, polopřímka či úsečka je daná rovnicí $f=f(x)=kx+q$, kde $k,q$ jsou konstanty.

Pro derivace $f$ platí ${df \over dx}=k$ a ${df^{2} \over dx^{2}}=0$.

Pro křivost přímky pak platí $\kappa ={\frac {d^{2}f \over dx^{2}}{[1+({df \over dx})^{2}]^{3/2}}}={\frac {0}{[1+(k)^{2}]^{3/2}}}=0$.

Křivost kružnice

kružnice je daná např. rovnicí $f=f(x)=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$, kde $r$ je poloměr kružnice.

Pro derivace $f$, pak platí ${df \over dx}={-r \over {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$ a ${df^{2} \over dx^{2}}={-r^{2} \over {\Bigl (}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\Bigr )}^{3}}$ .

Pro křivost dané kružnice pak platí $\kappa ={\frac {d^{2}f \over dx^{2}}{[1+({df \over dx})^{2}]^{3/2}}}={\frac {-r^{2} \over {\Bigl (}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\Bigr )}^{3}}{[1+({-r \over {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}})^{2}]^{3/2}}}=-1/r$.

Výpočet křivosti v software Mathcad

Na následujícím obrázku je provedeno odvození vztahu pro křivost kvadratické rovnice (f(x) = ax²+bx+c) v sw Mathcad (tzv. symbolický výpočet).

• 

  Odvození vztahu pro křivost v sw Mathcad (kvadratická rovnice)

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu křivost na Wikimedia Commons
• Elektronická učebnice diferenciální geometrie křivek a ploch
• Nosník na pružném podkladu
• Poloměr křivosti

Autoritní data	GND: 4128765-4 LCCN: sh85034911 NDL: 00567236 NLI: 987007538479005171